Matemàtiques

De Viquipèdia

Articles relacionats amb Matemàtiques

La matemàtica (encara que, per a referir-se a l'estudi i ciència, s'acostuma a utilitzar el plural matemàtiques) és aquella ciència que estudia patrons en les estructures de cossos abstractes i en les relacions que s'estableixen entre ells (del mot derivat del grec μάθημα, máthema: ciència, coneixement, aprenentatge, μαθηματικoς).

Malgrat que tingui múltiples usos en altres ciències i disciplines (molt particularment en la Física), i tracti relacions que poden semblar evidents, les matemàtiques primer postulen (veure axiomes matemàtics), i després dedueixen i demostren. Les matemàtiques no són considerades una ciència experimental. Els matemàtics acostumen a definir i investigar estructures i conceptes abstractes per raons purament internes a la matemàtica, ja que tals estructures poden proveir, per exemple, una generalització elegant, o una útil eina per a càlculs freqüents. A més, molts matemàtics estudien les seves àrees de preferència simplement per raons estètiques, veient així la matemàtica com una forma d'art en comptes d'una ciència pràctica o aplicada (encara que les estructures que els matemàtics investiguen tenen molt sovint el seu origen en observacions de la natura).

Progressió aritmètica

La matemàtica és un art, però també una ciència d'estudi. Informalment, es pot afirmar que la matemàtica és l'estudi dels «nombres i símbols», és a dir, la investigació d'estructures abstractes definides axiomàticament utilitzant la lògica i la notació matemàtica. És també la ciència de les relacions espacials i quantitatives. Es tracta de relacions exactes que existeixen entre quantitats i magnituds, i dels mètodes pels quals, d'acord amb aquestes relacions, les quantitats buscades són deduïbles a partir d'altres quantitats conegudes o pressuposades. Altres punts de vista poden trobar-se en la filosofia matemàtica

És freqüent trobar qui descriu la matemàtica com una simple extensió dels llenguatges naturals humans, que utilitza una gramàtica i un vocabulari definits amb extrema precisió, el propòsit de la qual és la descripció i exploració de relacions conceptuals i físiques. Recentment, això no obstant, els avanços en l'estudi del llenguatge humà apunten cap una altra forma d'analitzar-los: els llenguatges naturals (com català i el francès) i els llenguatges formals (com la matemàtica i els llenguatges de programació) són estructures que són de naturalesa bàsicament diferent.

[edita] Categories

Es diu que la matemàtica abasta tres àmbits:

Aritmètica.
Geometria, inclosos la trigonometria i les seccions còniques.
Anàlisi matemàtica, en la qual s'utilitzen lletres i símbols, on s'inclouen l'àlgebra, la geometria analítica i el càlcul.

(Alguns, especialment els probabilistes, afegeixen a aquesta llista el càlcul de probabilitats).

Cadascuna d'aquestes categories es divideix al seu torn en pura o abstracta, on es consideren les magnituds o quantitats abstractament, sense relació amb la matèria; i en aplicada, que tracta les magnituds com substància de cossos materials, i per consegüent es relaciona amb consideracions físiques.

Tot i que les nombroses branques de la matemàtica estan molt interrelacionades; heus aquí una llista de seccions que podem considerar en el seu estudi:

[edita] Fonaments i mètodes

Filosofia de les matemàtiques - Intuïció matemàtica - Constructivisme matemàtic - Fonaments de les matemàtiques - Teoria de conjunts - Subconjunts fluixos - Lògica simbòlica - Lògica difusa - Teoria de models - Teoria de les categories - Prova dels teoremes - Axiomàtica - Inducció

[edita] Nombres

Nombres - Nombre natural - Nombre enter - Nombre racional - Nombre irracional - Nombre real - Nombre complex - Quaternions - Octonions - Sedenions - Nombre hiperreal - Nombre infinit - Dígit - Sistema de numeració - Nombre p-àdic

[edita] Matemàtica del canvi

Càlcul - Càlcul vectorial - Anàlisi - Equació diferencial - Sistemes dinàmics i teoria del caos - Llista de funcions - Logaritme

[edita] Anàlisi

Successions - Sèries - Anàlisi real - Anàlisi complexa - Anàlisi funcional - Àlgebra d'operadors

[edita] Estructures matemàtiques

Àlgebra abstracta - Teoria de nombres - Àlgebra commutativa - Geometria algebraica - Teoria de grups - Monoïdes - Anàlisi - Topologia - Àlgebra lineal - Teoria de grafs - Teoria de les categories

[edita] Espais

Topologia - Geometria - Teoria de feixos - Geometria algebraica - Geometria diferencial - Topologia diferencial - Topologia algebraica - Àlgebra lineal - Quaternions i rotació en l'espai

[edita] Matemàtica finita

Combinatòria - Teoria de conjunts - Estadística i Probabilitat - Teoria de la Computació - Matemàtica discreta - Criptografia - Teoria dels grafs - Teoria de jocs

[edita] Matemàtica aplicada

Mecànica - Càlcul numèric - Optimització - Matemàtiques discreta - Estadística i probabilitat

[edita] Teoremes i conjectures famoses

Teorema de Fermat - Hipòtesi de Riemann - Hipòtesi del continu - Classes de complexitat P i NP - Conjectura de Goldbach - Conjectura dels nombres primers bessons - Teoremes d'incompletesa de Kurt Gödel - Conjectura de Poincaré - Argument de la diagonal de Cantor - Teorema de Pitàgores - Teorema fonamental del càlcul - Teorema Fonamental de l'Àlgebra - Teorema dels quatre colors - Lema de Zorn - Identitat d'Euler.

[edita] Història de les matemàtiques. El món dels matemàtics

Història de les matemàtiques - Matemàtics - Medalles Fields - Millennium Prize Problems (Clay Math Prize) - International Mathematical Union - Competicions matemàtiques - Matemàtiques en el món - Matemàtiques a Bizanci - Matemàtiques en l'Islam medieval

[edita] Matemàtiques recreatives

Quadrat màgic - Origami

[edita] Etimologia

La paraula "matemàtiques" (del grec μαθηματικά) prové de dues paraules gregues μάθημα (máthēma), que significa aprenentatge, estudi, ciència i, amb el pas del temps, el seu significat va quedar reduït el que avui coneixem com l'estudi matemàtic. L'adjectiu és μαθηματικός (mathēmatikós), que significa relacionat amb l'aprenentatge, estudiós i que també, amb el pas del temps, va quedar reduït a "matemàtic". En especial, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), en llatí, ars mathematica, significava "art matemàtic". La forma plural del català prové del plural neutre llatí mathematica (Ciceró) basat en el plural grec τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) utilitzat per primera vegada per Aristòtil en referència a "totes les coses matemàtiques".

[edita] Història

Vegeu també l'article principal sobre Història de les matemàtiques

Àbac

Històricament, la matemàtica va sorgir amb la finalitat de fer els càlculs en el comerç, per a amidar la terra i per a predir els esdeveniments astronòmics. Aquestes tres necessitats poden ser relacionades en certa forma amb la subdivisió àmplia de les matemàtiques en l'estudi de l'estructura, l'espai i el canvi. L'estudi de l'estructura comença amb els nombres, inicialment els nombres naturals i els nombres enters.

Les regles que dirigeixen les operacions aritmètiques s'estudien en l'àlgebra elemental, i les propietats més profundes dels nombres enters s'estudien en la teoria de nombres. La investigació de mètodes per a resoldre equacions duu al camp de l'àlgebra abstracta. L'important concepte de vector, generalitzat a espai vectorial, és estudiat en l'àlgebra lineal, i pertany a les dues branques de l'estructura i l'espai. L'estudi de l'espai origina la geometria, primer la geometria euclidiana i després la trigonometria.

La comprensió i descripció del canvi en variables mesurables és el tema central de les ciències naturals, i el càlcul. Per a resoldre problemes que es dirigeixen en forma natural a relacions entre una quantitat i la seva taxa de canvi, i de les solucions a aquestes equacions, s'estudien les equacions diferencials.

Els nombres usats per a representar les quantitats contínues són els nombres reals. Per a estudiar els processos de canvi s'utilitza el concepte de funció matemàtica. Els conceptes de derivada i integral, introduïts per Newton i Leibniz, representen un paper clau en aquest estudi, que es denomina Anàlisi.

Per raons matemàtiques, és convenient per a moltes fins introduir els nombres complexos, el que dóna lloc a l'anàlisi complexa. L'anàlisi funcional, per contra, consisteix a estudiar problemes la incògnita dels quals és una funció, pensant-la com un punt d'un espai funcional abstracte.

Un camp important en matemàtiques aplicades és la probabilitat i l'estadística, que permeten la descripció, l'anàlisi i la predicció de fenòmens que tenen variables aleatòries i que s'usen en totes les ciències.

L'anàlisi numèrica investiga els mètodes per a realitzar els càlculs en computadores.

[edita] Notació, llenguatge i rigor

La major part de la notació matemàtica no seria inventada sinó fins el segle XVI. Abans, les matemàtiques s'escrivien en lletres i enunciats, un procés difícil que va limitar el desenvolupament de la disciplina. La notació moderna ha facilitat l'estudi de les matemàtiques. És extremadament comprimida: uns pocs símbols contenen massa informació. Com la notació musical la notació matemàtica moderna té un sintaxi estricte que codifica la informació que seria molt difícil d'escriure d'una altra manera.

El llenguatge matemàtic és difícil pels novençans. Les paraules o o només tenen significats molt més precisos del que tenen en l'ús quotidià. Altres conceptes, com ara camp obert i conjunt tenen significats matemàtics especialitzats, i de l'estudi matemàtic han sorgit nous conceptes com ara l"homeomorfisme" i l'"integrabilitat". Les matemàtiques requereixen un llenguatge molt més precís que el llenguatge quotidià. Aquesta precisió i lògica es coneix com a "rigor".

El rigor tracta de la prova matemàtica. Els matemàtics volen que llurs teoremes siguin derivats dels axiomes per mitjà del raonament sistemàtic i així evitar "teoremes" erronis, basats en intuïcions fal·libles. El nivell del rigor que s'espera de les matemàtiques ha evolucionat amb el temps: els grecs antics demanaven arguments detallats, però, durant l'època de Newton, els mètodes que s'utilitzaven eren menys rigorosos. Els problemes inherents a les definicions de Newton van produir un ressorgiment de l'anàlisi curós i de la prova formal.

[edita] Enllaços externs

Podeu trobar més informació en els projectes germans de Wikimedia:
	Commons.
	[{{localurl:Commons:Category:{{{Commonscat}}}\|uselang=ca}} Commons].
	Viccionari.
	Viquidites.
	Viquiespècies.
	Viquillibres.
	Viquinotícies.
	Viquitexts.
	Viquiversitat.