Diagonální matice
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V lineární algebře označuje pojem diagonální matice čtvercovou matici n×n, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále. Někdy se tento termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku toto zobecnění nebudeme uvažovat.
Příkladem diagonální matice je matice
Diagonální matice se někdy zapisuje jako diag(a1, …, an), kde ai odpovídá prvku matice aii. Matice v předchozím příkladu je tedy diag(1, 4, -3).
Každá jednotková matice a každá čtvercová nulová matice je diagonální maticí.
[editovat] Vlastnosti
Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.
Součet a součin dvou diagonálních matic dá opět diagonální matici. Pro součet platí
- diag(a1, …, an) + diag(b1, …, bn) = diag(a1+b1, …, an+bn)
a pro součin
- diag(a1, …, an) · diag(b1, …, bn) = diag(a1b1, …, anbn).
Pro každou diagonální matici D platí, že transponovaná matice DT = D.
Inverzní matice existuje, právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Pak platí
- diag(a1, …, an)-1 = diag(a1-1, …, an-1).
Determinant diagonální matice je součin prvků na diagonále.
Vlastní čísla diagonální matice jsou právě prvky na diagonále.
