Elipsoid setrvačnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Elipsoid setrvačnosti je plocha tvořená koncovými body vektorů úhlové rychlosti v různých směrech za předpokladu, že kinetická energie rotačního pohybu je konstantní.

Obsah

1 Rovnice elisoidu
- 1.1 Vyjádření momentu setrvačnosti
- 1.2 Centrální elipsoid setrvačnosti
2 Podívejte se také na

[editovat] Rovnice elisoidu

Moment setrvačnosti $J S$ vzhledem k ose $S$ , která svírá se souřadnicovými osami $x, y, z$ úhly $α,β,γ$ je vyjádřen vztahem

$J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta \,$

Mění-li se směr osy $S$ , mění se také velikost momentu setrvačnosti $J S$ . Sledujeme-li při různých volbách osy $S$ a konstantní hodnotě kinetické energie $E k 0$ úhlové rychlosti $ω$ pro daný směr osy $S$ , pak koncové body vektorů $ω$ budou tvořit určitou právě plochu označovanou jako elipsoid setrvačnosti.

Elipsoid má tři hlavní osy. Označíme-li $ω 1,ω 2,ω 3$ velikosti hlavních poloos a souřadnice vzhledem k hlavním osám elipsoidu jako $ξ,η,ζ$ , lze rovnici elipsoidu psát ve tvaru

${\left(\frac{\xi}{\omega_1}\right)}^2 + {\left(\frac{\eta}{\omega_2}\right)}^2 + {\left(\frac{\zeta}{\omega_3}\right)}^2 = 1$

[editovat] Vyjádření momentu setrvačnosti

Ze vztahu pro kinetickou energii rotačního pohybu tělesa lze získat vztah

$J_S = \frac{2E_{k0}}{\omega^2}$

Lze předpokládat, že

$J_i = \frac{2E_{k0}}{\omega_i^2}$ , pro

i = 1,2,3

kde $J i$ jsou momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k hlavním osám elipsoidu setrvačnosti. Rovnici elipsoidu setrvačnosti tedy můžeme přepsat do tvaru

J 1 ξ 2 + J 2 η 2 + J 3 ζ 2 = 2 E k 0

To lze také zapsat jako

$2E_{k0} = \omega_1^2 J_1 + \omega_2^2 J_2 + \omega_3^2 J_3$

Pokud osa $S$ svírá s hlavními osami elipsoidu setrvačnosti úhly $α 0,β 0,γ 0$ , budou souřadnice polohy bodu na elipsoidu setrvačnosti, který přísluší ose $S$

$\xi = \omega\cos\alpha_0,\, \eta = \omega\cos\beta_0,\, \zeta = \omega\cos\gamma_0$

Moment setrvačnosti $J S$ k ose $S$ je možné vyjádřit jako

$J_S = \frac{2E_{k0}}{\omega^2} = J_1\cos^2\alpha_0 + J_2\cos^2\beta_0 + J_3\cos^2\gamma_0$

V tomto vztahu se nevyskytují smíšené členy (deviační momenty). To tedy znamená, že deviační momenty vzhledem k hlavním osám jsou nulové.

V obecném případě má elipsoid setrvačnosti všechny hlavní osy různě velké, takže lze psát $J 1 < J 2 < J 3$ , neboť všechny osy elipsoidu jsou různé a lze je tedy seřadit podle velikosti. Hlavní osy elipsoidu jsou k sobě navzájem kolmé. Je-li elipsoid setrvačnosti rotační, jsou dvě jeho osy stejně velké a tedy i dva ze tří hlavních momentů setrvačnosti jsou stejně velké. Má-li totiž těleso rovinu souměrnosti, pak je každá kolmice k této rovině hlavní osou setrvačnosti. Má-li těleso osu souměrnosti, je tato osa jednou ze tří hlavních os souměrnosti.

[editovat] Centrální elipsoid setrvačnosti

Ačkoli se všechny dosavadní úvahy týkaly elipsoidu setrvačnosti, který byl umístěn v hmotném středu tělesa, středem elipsoidu setrvačnosti může být obecně libovolný bod tělesa. Elipsoid setrvačnosti, jehož střed leží v těžišti tělesa, se nazývá centrální elipsoid setrvačnosti.

Moment setrvačnosti k libovolné ose se určí tak, že se určí moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa a následným použitím Steinerovy věty se určí moment kolem dané osy, tzn.

$J_S = J_1\cos^2\alpha_0 + J_2\cos^2\beta_0 + J_3\cos^2\gamma_0 + mr_T^2$ ,

kde $α 0,β 0,γ 0$ jsou úhly, které svírá osa $S$ s hlavními osami setrvačnosti, $m$ je celková hmotnost tělesa a $r T$ je vzdálenost osy $S$ od rovnoběžné osy jdoucí těžištěm tělesa.