Vektor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o matematickému pojmu. Další významy jsou uvedeny v článku Vektor (rozcestník).

Vektor představuje ve fyzice a vektorovém počtu veličinu, která má kromě velikosti i směr (což mohou být v 3-dimenzionálním prostoru Eulerovy úhly) a počátek. Tím se liší od obyčejného čísla, neboli skaláru, které má pouze velikost. Ačkoliv je vektor často popsán několika komponentami v tzv. souřadnicovém zápisu, který závisí na použitém systému souřadnic, samotný vektor je objekt, jehož vlastnosti na použitém souřadnicovém systému nezávisí. Příkladem vektoru je síla — má velikost a orientaci ve třech dimenzích (nebo podle počtu dimenzí prostoru), a více sil se skládá dohromady podle zákona o skládání sil - paralelogramu.

Kvantová fyzika používá pro zápis vektoru tzv. Diracovu symboliku.

V matematice je vektor chápán jako uspořádaná n-tice prvků, označovaných jako složky (též komponenty) vektoru. Vektor je abstraktním prvkem vektorového prostoru. Počet složek vektoru souvisí s dimenzí vektorového prostoru.

[editovat] Definice

Neformálně je vektor veličina charakterizovaná velikostí (v matematice číslem, ve fyzice počtem jednotek) a směrem. Často je reprezentovaná graficky jako šipka. Příkladem je „Pohyb na sever rychlostí 90 km/hod“ nebo „Přitahován ke středu Země silou 70 newtonů“.

Představu o „velikosti“ a „směru“ lze formalizovat, když řekneme, že vektor má komponenty, které se při rotaci transformují stejně jako souřadnice. Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí rotaci popsanou vztahem $x_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j$ , pak složky libovolného vektoru $\mathbf{v}$ se podobně transformují podle vztahu

$x_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} v_j$ ,

kde $v i$ jsou složky vektoru $\mathbf{v}$ v původní soustavě souřadnic a $v_i^\prime$ jsou složky vektoru $\mathbf{v}^\prime$ v nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako

$\mathbf{v}^\prime = \mathbf{A}\cdot\mathbf{v}$ ,

kde $\mathbf{A}$ je transformační matice se složkami $a i j$ .

Pokud není vektor vázán k žádnému pevnému bodu prostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho směr a velikost, pak hovoříme o volném vektoru. Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru, pak hovoříme o vázaném vektoru.

[editovat] Pravý a axiální vektor

Jako pravý vektor označujeme takovou vektorovou veličinu, která se při rotacích i zrcadlení souřadnicových os transformují stejně jako souřadnice. Při zrcadlení os tedy pro pravý vektor platí

$\mathbf{V}(-x_i) = - \mathbf{V}(x_i)$

Vektorovou veličinu, která při rotacích transformuje stejně jako souřadnice, avšak při zrcadlení souřadnicových os se nemění, označujeme jako axiální vektor (nepravý vektor nebo pseudovektor), tzn. při zrcadlení platí

$\mathbf{V}(-x_i) = \mathbf{V}(x_i)$

Příkladem pravého vektoru je polohový vektor $\mathbf{r}$ nebo vektor rychlosti $\mathbf{v}$ , axiálním vektorem je např. vektor úhlové rychlosti $\mathbf{\Omega}$ .

[editovat] Reprezentace vektoru

Symboly pro vektory jsou obvykle tištěny tučně, jako a; to je také konvence použitá v této encyklopedii. Mezi další zvyklosti označování patří $\vec{a}$ nebo a, zvlášť při ručním psaní. Alternativně lze použít tildu (~) umístěnou nad vektor.

Vektory se obvykle v grafech nebo jiných diagramech označují jako šipky, jak je znázorněno na obrázku :

Zde bod A se nazývá báze nebo počátek; bod B se nazývá hlava, vrchol, koncový bod, nebo cíl. Délka šipky představuje velikost vektoru, směr šipky představuje směr vektoru.

Vektory jsou také často vyjadřovány pomocí svých složek, např. $a i$ pro vektor $\mathbf{a}$ .

V pokročilejší matematické či fyzikální literatuře se pro vektory žádné speciální značení nepoužívá a jsou označovány stejně jako ostatní veličiny, popř. se používá složkový zápis. Např. místo $\mathbf{a}$ se použije $a i$ nebo pouze $a$ .

[editovat] Operace s vektory

[editovat] Invariantnost operací

Transformační vlastnosti vektorů zajišťují invariantnost vektorových operací.

Nechť například každý z dvou vektorů lze vyjádřit pomocí tří prostorových souřadnic, a aplikujeme vzorec pro vektorový součin. Dostaneme tři souřadnice, reprezentující třetí vektor. Přepíšeme-li původní dva vektory v pootočeném souřadnicovém systému a aplikujeme opět vzorec pro vektorový součin, je výsledkem původní vektorový součin vyjádřený v pootočených souřadnicích.

[editovat] Sčítání vektorů

Součet dvou vektorů získáme tak, že sečteme jejich jednotlivé komponenty, tzn.

C i = A i + B i

neboli

$\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$

Sčítání dvou vektorů má smysl pouze pro vektory, které mají stejný počet složek.

Pokud jsou dva vektory na sebe kolmé, lze výsledný vektor určit pomocí Pythagorovou větou. Výsledný vektor je také možno určit graficky a to doplněním do vektorového rovnoběžníku (nechť je cíl výsledného vektoru bod C, počátek bod A, cíl vektoru 1 bod B a cíl vektoru 2 bod D.) Úhlopříčka AC vektorového rovnoběžníku ABCD pak představuje výsledný vektor. Dělka této vektorové úsečky je rovna velikosti výsledného vektoru.

[editovat] Násobení vektoru číslem

Vynásobíme-li vektor $\mathbf{A}$ číslem $k$ , získáme nový vektor $\mathbf{B}$ se složkami

$B_i = k \cdot A_i$ ,

což zapisujeme jako

$\mathbf{B} = k \cdot \mathbf{A}$

[editovat] Součin vektorů

Součin vektorů lze definovat různým způsobem. Používané součiny vektorů jsou

[editovat] Vlastnosti vektorových operací

Mějme vektory $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ a skaláry $a, b$ . Pak platí komutativní zákon pro sčítání vektorů

$\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}$

Pro sčítání dvou vektorů platí asociativní zákon, tzn.

$\mathbf{A} + (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = (\mathbf{A} + \mathbf{B}) + \mathbf{C}$

Platí také asociativní zákon pro násobení číslem, tedy

$a(b \mathbf{A}) = (ab) \mathbf{A}$

Dále platí distributivní zákony

$(a+b) \mathbf{A} = a \mathbf{A} + b \mathbf{A}$

$a(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = a \mathbf{A} + a \mathbf{B}$

Existuje nulový vektor $\mathbf{0}$ splňující následující vztahy

$\mathbf{A} + \mathbf{0} = \mathbf{A}$

$\mathbf{0}\cdot\mathbf{A} = \mathbf{0}$

$a \mathbf{0} = \mathbf{0}$

Ke každému vektoru $\mathbf{A}$ existuje opačný vektor $-\mathbf{A}$ , pro nějž platí

$\mathbf{A} + (-\mathbf{A}) = \mathbf{0}$

$-(a \mathbf{A}) = (-a) \mathbf{A} = a (-\mathbf{A})$

Pokud $\mathbf{B} = \mathbf{A} + \mathbf{C}$ , pak

$\mathbf{C} = \mathbf{B} + (-\mathbf{A}) = \mathbf{B} - \mathbf{A}$

Za lineární kombinaci dvou vektorů $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ je považován vektor $\mathbf{C} = a \mathbf{A} + b \mathbf{B}$ , kde a, b jsou libovolná čísla, jehož složky jsou

C i = a A i + b B i

Dva lineárně zavislé vektory označujeme jako kolineární (rovnoběžné). Jsou-li dva vektory lineárně závislé, je jeden z nich násobkem druhého, oba tedy určují stejný směr v prostoru a jsou tedy rovnoběžné. Vektorový součin dvou kolineárních vektorů je nulový.

Tři vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jako komplanární. Komplanární vektory leží v jedné rovině. Smíšený součin komplanárních vektorů je nulový.

Pomocí součinů vektorů lze získat některé důležité vztahy, jako je např. platnost Jacobiho identity pro dvojitý vektorový součin, tzn.

$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) + \mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) + \mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 0$

Dále tzv. Lagrangeova identita

$(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\cdot(\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{D}) - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{D})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})$

Speciálním případem Lagrangeovy identity je vztah

${(\mathbf{A} \times \mathbf{B})}^2 = {\mathbf{A}}^2 {\mathbf{B}}^2 - {(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^2$

Dalšími často užívanými vztahy jsou

$(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = [\mathbf{A}(\mathbf{B} \times \mathbf{D})]\mathbf{C} - [\mathbf{A}(\mathbf{B}\times \mathbf{C})]\mathbf{D}$

$\mathbf{A} \times [\mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D})] = (\mathbf{A} \times \mathbf{C})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{D}) - (\mathbf{A} \times \mathbf{D})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})$

[editovat] Další vektorové operace

[editovat] Druhy vektorů

[editovat] Prostorový vektor

Prostorový vektor lze formálně definovat svým vztahem k systému souřadnic při jejich rotaci. Lze ho alternativně definovat bez vazby k souřadnicím, v jazyku diferenciální geometrie, jako tečný prostor třídimenzionální variety (viz níže).

Prostorový vektor je speciálním případem tenzoru a je také analogií k čtyřvektoru v teorii relativity (a někdy se také nazývá trojvektorem ve vztahu k třem prostorovým dimenzím, ačkoliv tento pojem má ještě jiný význam - používá se také v diferenciální geometrii pro p-vektory). Vektory jsou stavebními bloky vektorového pole a vektorového počtu.

[editovat] Jednotkový vektor

Jednotkovým vektorem označujeme vektor e s jednotkovou normou, tzn. $|\mathbf{e}|=1$ .

Jednotkový vektor ve směru libovolného vektoru $\mathbf{V}$ je určen vztahem

$\mathbf{e} = \frac{\mathbf{V}}{|\mathbf{V}|}$

[editovat] Nulový vektor

Nulový vektor $\mathbf{0}$ je zvláštním případem vektoru, který lze zapsat jako uspořádanou n-tici $(0,0,\cdots,0)$ , tzn. všechny složky vektoru jsou nulové.