Fyzikální kyvadlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Fyzikální kyvadlo.

Fyzikální kyvadlo (též fyzické kyvadlo) je tuhé těleso otočné bez tření kolem vodorovné osy, jež neprochází těžištěm. Od matematického kyvadla se liší tím, že těleso není považováno za bod.

[editovat] Rovnice kyvadla

Označíme-li okamžitou výchylku z rovnovážné polohy kyvadla jako $\varphi$ a $m$ nechť označuje hmotnost kyvadla, pak pokud si můžeme představit veškerou hmotnost kyvadla soustředěnu v těžišti tělesa, které se nachází ve vzdálenosti $l$ od osy otáčení, pak na kyvadlo působí moment $M$ o velikosti

$M = -mgl\sin\varphi$

Moment $M$ působí proti výchylce kyvadla a snaží se jej uvést zpět do rovnovážné polohy, a proto je uveden se záporným znaménkem. Kyvadlo koná rotační pohyb kolem pevné osy, takže platí rovnice

$M = J\varepsilon = J\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2} = -mgl\sin\varphi$ ,

kde $J$ je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.

Největší možný silový moment získáme při $\sin\varphi =\pm 1$ , kdy je $K = | M | = m g l$ . Veličina $K$ se nazývá direkčním momentem.

Úpravou předchozího vztahu dostaneme rovnici fyzikálního kyvadla ve tvaru

$\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2} + \frac{mgl}{J}\sin\varphi =0$

Pro malé výchylky můžeme položit $\sin\varphi\approx\varphi$ a pomocí substituce $\frac{mgl}{J}=\omega^2=\mbox{konst}$ dostaneme rovnici ve tvaru

$\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2\varphi = 0$ ,

což je diferenciální rovnice harmonického pohybu, v níž $ω$ představuje kruhovou frekvenci.

Pro periodu (označovanou též jako dobu kmitu) $T$ pak platí

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{J}{mgl}}$

Doba kmitu při velmi malých výchylkách z rovnovážné polohy nezávisí na výkyvu, tj. na maximální výchylce z rovnovážné polohy neboli amplitudě.

Chyba, která vzniká nahrazením skutečného pohybu kyvadla pohybem harmonickým, což bylo proveden náhradou $\sin\varphi$ za $\varphi$ , činí při amplitudě φ_m=1° asi 0,002% a při φ_m=5° asi 0.05%. Při větších kmitech již nelze pohyb kyvadla považovat za harmonický.

[editovat] Podívejte se také na

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../f/y/z/Fyzik%C3%A1ln%C3%AD_kyvadlo.html“

Kategorie: Mechanika

Fyzikální kyvadlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

[editovat] Rovnice kyvadla

[editovat] Podívejte se také na

Views

Navigace

Hledání