Matematické kyvadlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je matematickým modelem kyvadla. U matematického kyvadla se zkoumá pouze hmotný bod zavěšený na tenkém vláknu zanedbatelné hmotnosti, zanedbává se odpor vzduchu při pohybu kyvadla i tření v závěsu a gravitační pole se považuje za homogenní. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, tedy zařízení, které po dodání počáteční energie volně kmitá bez vnějšího působení. Při malých výchylkách je průběh tohoto kmitání harmonický, lze jej tedy vyjádřit pomocí funkce sinus.

Obsah

1 Matematický popis
2 Reálné kyvadlo
- 2.1 Redukovaná délka
- 2.2 Reverzní kyvadlo
3 Podívejte se také na

[editovat] Matematický popis

Na hmotný bod působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu. Velikost výsledné síly je

$F = g \sin \varphi$ ,

kde $g$ je tíhové zrychlení a $\varphi$ je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy. Diferenciální rovnice pro popis pohybu kyvadla je z 2. Newtonova pohybového zákona tedy

$\ddot{\varphi} = -\frac{g}{l} \sin \varphi$ ,

kde $l$ je délka vlákna. Pokud je maximální výchylka z rovnovážné polohy $\varphi_{\rm max}$ malá (<5°), lze funkci sinus nahradit lineární funkcí

$\sin \varphi \approx \varphi$ .

Diferenciální rovnice má proto jednodušší tvar

$\ddot{\varphi} \approx -\frac{g}{l} \varphi$ .

Tato rovnice má řešení

$\varphi(t) = \varphi_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t \right)$ ,

kde $\varphi_0$ je počáteční výchylka a $t$ je čas, což je rovnice harmonického oscilátoru s periodou

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ .

Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla, hmotnost závaží na ni nemá vliv.

[editovat] Reálné kyvadlo

Podrobnější informace naleznete v článku Fyzikální kyvadlonaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení jsou potřeba eliptické integrály. Kyvadlo už v tomto případě není harmonický oscilátor. Perioda kmitání kyvadla lze vyjádřit pomocí řady

$T(\varphi) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\sin^4\left(\frac{\varphi}{2}\right) + ...\right)$ .

Pokud uvažujeme nenulové tření při pohybu kyvadla, klesá maximální výchylka při kmitání exponenciálně v závislosti na čase.

[editovat] Redukovaná délka

Délka $l$ matematického kyvadla, které se kývá stejně (tzn. má stejnou periodu) jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Mají-li být periody stejné pak platí

$l^\star = \frac{J}{ml}$ ,

kde $l^\star$ představuje redukovanou délku kyvadla, $m$ je hmotnost tělesa, $l$ je vzdálenost závěsu od těžiště a $J$ je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.

[editovat] Reverzní kyvadlo

Reverzní kyvadlo.

Pokud naneseme na přímku, která je kolmá k ose otáčení $O$ a současně prochází těžištěm tělesa redukovanou délku kyvadla, dostaneme bod $O^\prime$ . Tento bod se nazývá střed kyvu a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem $O^\prime$ má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě $O$ .

Je-li totiž moment setrvačnosti tělesa k ose jdoucí těžištěm $J 0$ a jeho moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy kyvu $J$ , pak redukovaná délka je

$l = \frac{J_0+ma^2}{ma} = \frac{J_0}{ma}+a$ ,

kde $a$ označuje vzdálenost těžiště od bodu $O$ .

Kýve-li se těleso kolem středu kyvu $O^\prime$ , je podle Steinerovy věty platí

$J^\prime = J_0 + m{(l-a)}^2$

Pro redukovanou délku dostaneme

$l^\prime = \frac{J^\prime}{m(l-a)} = \frac{J_0}{m(l-a)}+(l-a)$

Z předchozích vztahů pak plyne

$l^\prime = a\frac{l-a}{l-a}+(l-a) = l$

Redukovaná délka pro osu $O^\prime$ je tedy stejná jako pro původní osu $O$ .

Pokud je těleso zavěšeno v bodě $O^\prime$ , který je od bodu $O$ vzdálen o redukovanou délku $l$ , dostaneme tzv. reverzní (převratné) kyvadlo. Perioda převratného kyvadla je opět dána vztahem

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ .