Mechanika kontinua

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Mechanika kontinua je část mechaniky, která zkoumá látku bez zřetele na její diskrétní strukturu. Přestože je diskrétní struktura látky prokázána, je často vhodné sledovat těleso jako část prostoru, která je spojitě vyplněna látkou o určitých vlastnostech. Tento přechod od diskrétní struktury hmoty k představě o spojitém prostředí (kontinuu) lze provést při zkoumání látky z makroskopického hlediska. Na úrovni mikroskopické je nutno diskrétní strukturu zohledňovat.

V mechanice kontinua nejsou fyzikální vlastnosti přiřazovány hmotným bodům nebo částicím, ale jednotlivým geometrickým bodům. Z hlediska fyzikálního tedy danému geometrickému bodu přiřadíme vhodnou průměrnou hodnotu, která charakterizuje rozložení dané veličiny v okolí zvoleného bodu, přičemž požadujeme, aby se při tomto popisu neprojevovala diskrétní struktura skutečné látky.

[editovat] Částice kontinua

Částicí kontinua se označuje oblast spojitého prostředí, v jejímž objemu lze považovat sledované fyzikální veličiny za konstantní.

[editovat] Kinematika kontinua

Pohyb kontinua lze popisovat dvěma metodami.

[editovat] Lagrangeova metoda

Lagrangeova metoda popisu kontinua určuje v okamžiku zahájení pozorování (v čase $t = 0$ ) polohy částic kontinua jejich souřadnicemi $x i$ . Souřadnice těchto částic v čase $t$ pak označíme $y j$ a píšeme

y j = y j (x i, t)

Pro pevně dané $x i$ se hovoří o trajektorii částice kontinua. Trajektorie je určena dráhou pohybu zvolené částice kontinua.

[editovat] Eulerova metoda

Eulerova metoda popisu kontinua spočívá v určení rychlostí všech částic kontinua. Rychlost částice kontinua nacházející se v okamžiku $t$ v bodě $y j$ je určena

v i = v i (y j, t)

Proložíme-li kontinuem křivky, jejichž tečny mají v každém bodě kontinua směr rychlosti $v i$ , pak se takové křivky označují jako proudnice. Proudnice je určena rychlostmi různých částic kontinua v daném okamžiku.

Trajektorie a proudnice jsou obecně různé křivky. Oba druhy křivek splývají pouze v případě, že rychlosti jsou na čase nezávislé. V takovém případě hovoříme o stacionárním (ustáleném) pohybu kontinua.

[editovat] Translační, rotační a deformační pohyb kontinua

Mechanika kontinua se zabývá především takovými pohyby, při nichž dochází ke změnám ve vzájemné poloze částic kontinua. Pokud ke změnám ve vzájemné poloze částic nedochází, pak se kontinuum pohybuje jako tuhé těleso.

Uvažujme v bodě $y j$ rychlost určenou podle Eulerovy metody jako $v i (y j, t)$ a v blízkém bodě $y j + d y j$ nechť je rychlost $v i (y j + d y j, t)$ , což vyjádříme pomocí přibližného vztahu

$v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t) = v_i(y_j,t) + \left(\frac{\part v_i}{\part y_j}\right)\mathrm{d}y_j$

Výraz $\frac{\part v_i}{\part y_j}$ lze vyjádřit pomocí následující identity

$\frac{\part v_i}{\part y_j} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} + \frac{\part v_j}{\part y_i}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} - \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)$

Pravá strana představuje rozklad tenzoru $\frac{\part v_i}{\part y_j}$ na symetrickou a antisymetrickou část. Pomocí tohoto rozkladu získáme

$v_i(y_j+\mathrm{d}y_j,t) = v_i(y_j,t) + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} - \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\mathrm{d}y_j + \frac{1}{2}\left(\frac{\part v_i}{\part y_j} + \frac{\part v_j}{\part y_i}\right)\mathrm{d}y_j$

První dva členy na pravé straně představují pohyb kontinua jako celku, přičemžp rvní člen představuje rychlost translačního pohybu a druhý člen rychlost rotace. Poslední člen udává rychlost, s jakou se mění vzdálenosti částic v okolí bodu $y j$ . Tento člen tedy popisuje deformaci kontinua (tzv. deformační pohyb).

Uvedená rovnice je obsahem tzv. první Helmholtzovy věty, podle které lze pohyb kontinua v okolí určitého bodu rozložit na pohyb translační (posuvný), na pohyb rotační (otáčivý) a pohyb deformační.