Sférická trigonometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Sférická trigonometrie je součást trigonometrie, která zkoumá vztahy mezi prvky sférického trojúhelníku, tedy trojúhelníku na sférické ploše.

Obsah

1 Základní pojmy
2 Sférický dvojúhelník
3 Sférický trojúhelník
4 Podívejte se také na

[editovat] Základní pojmy

Průnik kulové plochy a roviny, která prochází středem této kulové plochy, označujeme jako hlavní kružnici kulové plochy. Vedlejší kružnicí nazýváme průnik kulové plochy a roviny, která neprochází středem kulové plochy.

Sférickou vzdáleností bodů $A, B$ na kulové ploše označujeme délku menšího z oblouků hlavní kružnice, která prochází body $A$ a $B$ . Sférická vzdálenost protějších bodů kulové plochy je rovna polovině délky hlavní kružnice.

[editovat] Sférický dvojúhelník

Sférický dvojúhelník.

Část kulové plochy, která je ohraničena oblouky dvou různých hlavních kružnic, označujeme jako sférický dvojúhelník.

[editovat] Sférický trojúhelník

Sférický trojúhelník.

Část kulové plochy, která je ohraničena třemi oblouky hlavních kružnic, které spojují tři body kulové plochy (neležící na jedné hlavní kružnici), nazýváme sférickým trojúhelníkem. Jsou-li délky všech stran sférického trojúhelníka rovny sférickým vzdálenostem, pak se jedná o tzv. Eulerův trojúhelník.

Velikost strany sférického trojúhelníku měříme jako velikost úhlu, který svírají polopřímky ze středu kulové plochy, které procházejí krajními body dané strany.

Velikosti stran a úhlů sférického trojúhelníku jsou omezeny podmínkami

0 < a + b + c < 2π

π < α + β + γ < 3π

Jako sférický exces (nadbytek) se označuje číslo

$\varepsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$

Sférickým defektem se nazývá číslo

d = 2π - (a + b + c)

[editovat] Pravoúhlý sférický trojúhelník

Je-li jeden z úhlů sférického trojúhelníku pravý, např. $\gamma=\frac{\pi}{2}$ , pak hovoříme o pravoúhlém sférickém trojúhelníku. Podobně jako v případě rovinného pravoúhlého trojúhelníku označujeme stranu proti pravému úhlu jako přeponu a strany tvořící ramena pravého úhlu jako odvěsny.

Sférický exces lze v pravoúhlém sférickém trojúhelníku vyjádřit vztahem

$\operatorname{tg}\frac{\varepsilon}{2} = \operatorname{tg}\frac{a}{2} \,\operatorname{tg}\frac{b}{2}$ ,

kde $a, b$ jsou odvěsny pravoúhlého sférického trojúhelníku.

Základní prvky pravoúhlého sférického trojúhelníku lze vypočítat z jiných dvou daných prvků podle tzv. Neperova pravidla.

$\sin a = \sin\alpha \,\sin c = \operatorname{tg} b \,\operatorname{cotg}\beta$

$\sin b = \sin\beta \,\sin c = \operatorname{tg} a \,\operatorname{cotg}\alpha$

$\cos c = \cos a \,\cos b = \operatorname{cotg}\alpha \,\operatorname{cotg}\beta$

$\cos\alpha = \cos a \,\sin\beta = \operatorname{cotg} c \,\operatorname{tg}b$

$\cos\beta = \sin\alpha \,\cos b = \operatorname{cotg} c \,\operatorname{tg} a$

[editovat] Věty pro sférický trojúhelník

V obecném sférickém trojúhelníku lze definovat sinovou větu jako

sin a :sin b :sin c = sinα:sinβ:sinγ

Větu kosinovou lze definovat pro strany

$\cos a = \cos b \,\cos c + \sin b \,\sin c \,\cos\alpha$

$\cos b = \cos c \,\cos a + \sin c \,\sin a \,\cos\beta$

$\cos c = \cos a \,\cos b + \sin a \,\sin b \,\cos\gamma$

nebo také pro úhly sférického trojúhelníku

$\cos\alpha = -\cos\beta \,\cos\gamma + \sin\beta \,\sin\gamma \,\cos a$

$\cos\beta = -\cos\gamma \,\cos\alpha + \sin\gamma \,\sin\alpha \,\cos b$

$\cos\gamma = -\cos\alpha \,\cos\beta + \sin\alpha \,\sin\beta \,\cos c$

[editovat] Aproximace rovinným trojúhelníkem

Pro malý sférický trojúhelník platí, že takový trojúhelník lze nahradit rovinným trojúhelníkem, jehož úhly mají velikost o $\frac{1}{3}$ menší než úhly sférického trojúhelníku.