Shodné zobrazení
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Shodné zobrazení je matematický pojem z oboru elementární geometrie, používaný pro taková geometrická zobrazení prostoru na sebe sama, která zachovávají vzdálenosti mezi body prostoru.
Pojmu shodného zobrazení se obvykle používá ve školské geometrii pro zobrazení ve dvojrozměrném a trojrozměrném eukleidovském prostoru - tj. v rovině a v prostoru. Obecněji pro metrické prostory se zavádí pojem izometrické zobrazení na sebe sama, které má podobný význam.
Obsah |
[editovat] Základní vlastnosti
- Složením dvou shodných zobrazení získávám opět shodné zobrazení.
- Pro každé shodné zobrazení je inverzní zobrazení opět shodné - složením shodného zobrazení a k němu inverzního zobrazení je identické zobrazení.
- Inverzní zobrazení ke shodnému zobrazení je stejného typu, jako původní zobrazení (například inverzním zobrazením k posunutí je opět posunutí).
[editovat] Shodná zobrazení v rovině
[editovat] Typy zobrazení
V rovině existuje několik shodných zobrazení, která jsou (z pohledu geometrických konstrukcí) považována za základní:
- posunutí - všechny body roviny jsou posunuty stejným směrem o stejnou vzdálenost - směr a vzdálenost jsou dány orientovanou úsečkou, nazývanou „vektor posunutí“
- otočení - všechny body roviny jsou otočeny kolem pevně daného bodu (středu otočení) o stejný úhel (úhel otočení)
- středová souměrnost - všechny body jsou zobrazeny „na druhou stranu“ podle pevného středu, jejich obraz má stejnou vzdálenost od středu, jako původní bod. Středová souměrnost není v rovině nic jiného, než zvláštní případ otočení - konkrétně se jedná o otočení kolem středu souměrnosti o 180 stupňů
- osová souměrnost - všechny body jsou zobrazeny „na druhou stranu“ podle pevné přímky, jejich obraz má stejnou vzdálenost od přímky, jako původní bod.
- identita - zobrazení, které každý bod zobrazuje na sebe sama. Lze jí podle potřeby považovat ze posunutí o úsečku nulové délky nebo za otočení o nulový úhel.
[editovat] Skládání zobrazení
Mezi jednotlivými základními typy shodných zobrazení existují některé zajímavé vztahy:
- Složením dvou posunutí získám opět posunutí.
- Složením dvou otočení se stejným středem získám opět otočení se stejným středem.
- Složením dvou osových souměrností s různými rovnoběžnými osami získám posunutí. (A naopak - každé posunutí mohu vyjádřit jako složení dvou osových souměrností.)
- Složením dvou osových souměrností se shodnou osou získám identitu.
- Složením dvou osových souměrností s různoběžnými osami získám otočení kolem průsečíku os. (A naopak - každé otočení mohu vyjádřit jako složení dvou osových souměrností.)
[editovat] Často kladené otázky
Nabízí se otázka, zda v rovině existují ještě nějaká jiná zobrazení, než ta, která jsou uvedena v předchozím odstavci. Odpověď zní ano - stačí složit posunutí o úsečku nenulové délky s otočením kolem libovolného bodu o devadesát stupňů a získáváme shodné zobrazení, které nesplňuje definici ani jednoho z uvedených typů.
Druhá otázka zní, zda v rovině existují nějaká shodná zobrazení, která nelze „poskládat“ ze základních typů (tj. která nemohou být vyjádřena konečným počtem složení základních typů shodných zobrazení). Tentokrát zní odpověď ne - každé shodné zobrazení v rovině lze vyjádřit jako složení základních shodných zobrazení.
Toto tvrzení lze ještě zesílit - s ohledem na to, že posunutí, otočení a identitu lze složit z osových souměrností a středová souměrnost je speciálním případem otočení, lze říct, že:
Každé shodné zobrazení v rovině lze složit z konečného počtu osových souměrností.
Z dalšího oddílu vyplyne, že postavení osové souměrnosti je v tomto smyslu privilegované - není pravda, že by pomocí posunutí nebo pomocí otočení nebo pomocí posunutí a otočení bylo možné složit každé shodné zobrazení.
[editovat] Orientace shodného zobrazení
Při pokusech se zobrazením trojúhelníku v různých shodných zobrazeních si nelze nevšimnout jedné zajímavé věci - někdy se jsou vrcholy obrazu trojúhelníku „pojmenovány“ ve stejném směru (například A,B,C po směru hodinových ručiček se zobrazí na A',B',C' opět po směru hodinových ručiček), někdy naopak (vzor je A,B,C po směru, ale obraz je A',B',C' proti směru). Mluvíme o zachování orientace a o shodném zobrazení zachovávajícím orientaci nebo naopak o převrácení orientace a o shodném zobrazení převracejícím orientaci.
- Složením dvou shodných zobrazení zachovávájících orientaci vznikne opět shodné zobrazení zachovávající orientaci.
- Složením dvou shodných zobrazení převracejících orientaci vznikne shodné zobrazení zachovávající orientaci.
- Posunutí a otočení (a tedy i středová souměrnost) zachovávají orientaci.
- Osová souměrnost převrací orientaci.
Obecněji platí, že:
- Shodné zobrazení vzniklé složením sudého počtu osových souměrností zachovává orientaci.
- Shodné zobrazení vzniklé složením lichého počtu osových souměrností převrací orientaci.
Zde je mimo jiné odpověď na otázku, zda lze pomocí otočení a posunutí naskládat každé shodné zobrazení - odpověď zní ne, neboť pomocí nich nikdy nesložím shodné zobrazení převracející orientaci (například platí, že osovou souměrnost nelze složit pomocí posunutí a otočení).
[editovat] Přímá a nepřímá zobrazení
Shodná zobrazení, která zachovávají orientaci se nazývají přímá. Obraz lze přemístit tak, aby se kryl se svým vzorem.
Shodná zobrazení, která převracejí orientaci, se nazývají nepřímá. Pokud bychom chtěli přemístit obraz tak, aby se kryl se vzorem, museli bychom jej „obrátit na ruby“.
