Aritmetikkens fundamentalsætning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I matematikken, og særligt i talteori, siger Aritmetikkens fundamentalsætning at ethvert positivt heltal større end 1 enten er et primtal eller kan opskrives som et produkt af primtal. Desuden er denne opskrivning unik, når man ser bort fra rækkefølgen. F.eks. kan man skrive

6936 = 2³ · 3 · 17²   eller   1200 = 2⁴ · 3 · 5²

og der findes ingen andre mulige faktoriseringer af 6936 eller 1200.

Man kan udvide sætningen til at gælde tallet 1, hvis man betragter 1 som produktet af nul primtal.

Sætningen kan nemt og elegant bevises, og et bevis for denne bør indgå i ethvert matematikforløb på gymnasialt niveau. Beviset kunne for eksempel gå som følger:

Del I: Der er uendeligt mange primtal Vi benytter her Euklids bevis; altså, vi antager at der kun findes n primtal p₁,p₂,...p_n. Vi danner nu produktet . Nu gælder det så ganske fikst at N + 1 ikke er kongruent til nogle af primerne, og derfor må vores udgangspunkt om finiteten af primtallenes mængde være forkert.

Del II: Primtalsfaktorisation er entydig

Vi antager at der findes et tal N hvorom der gælder at der findes 2 primtalsopløsninger af tallet:

N = m₁m₂...m_i = n₁n₂...n_j

Vi fjerner først alle fælles faktorer på begge sider. Nu tager vi så faktoren n₁ og dividerer med den på alle tre sider. Nu er siden med m-faktorerne ikke et heltal, mens at siden med n-faktorerne er. Derfor må vores udgangspunkt om den flertydige opløsning af N være fejlfuldt.