Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Z Wikipedii
Podstawowe twierdzenie arytmetyki – stwierdzenie, że każdą liczbę naturalną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Dokładniejsze sformułowanie twierdzenia brzmi jak następuje:
Każdą liczbę całkowitą dodatnią można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Rozkład ten dotyczy każdej liczby całkowitej dodatniej. W szczególności, liczbę pierwszą można przedstawić jako iloczyn zawierający jeden czynnik, a liczbę 1 można przedstawić jako iloczyn zawierający zero czynników.
[edytuj] Jednoznaczność rozkładu
Rozkład każdej liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny. Należy to rozumieć w ten sposób, że jeśli liczba n jest przedstawiona jako iloczyn pewnych liczb pierwszych na dwa sposoby, to oba iloczyny zawierają te same czynniki i w tej samej liczbie, a różnią się jedynie ich kolejnością. Na przykład:
Zwykle czynniki pierwsze danej liczby grupuje się od najmniejszych do największych, czyli:
.
[edytuj] Uogólnienia
Zbiór liczb całkowitych tworzy pierścień przemienny. Podstawowe twierdzenie arytmetyki wyraża fakt, że pierścień ten jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu (pierścieniem Gaussa). Własność tę posiadają także pierścienie wielomianów – tam rolę elementów pierwszych odgrywają wielomiany nierozkładalne. Dla pierścienia ![\mathbb C[x]](../../../math/d/5/9/d5993a8d1d99ede7cd0fed2aa72863a9.png)
jedynymi takimi wielomianami są wielomiany stopnia pierwszego – jest to treść zasadniczego twierdzenia algebry.
Twierdzenie o jednoznaczności rozkładu jest podstawą wielu metod matematyki i kryptografii.
