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Inhaltsverzeichnis 1 Änderung beim Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen 1.1 [0;1] -> [0;1[ 1.2 Dezimalbruchentwicklung 1.3 Diagonal-"Beweis" 1.4 Kritik gelöscht 1.5 Ersetzungsregel 1.6 Konstruktivisten

[Bearbeiten] Änderung beim Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Damit das hier auch mal jemand liest, setz ich es einfach mal an den Anfang:-)

Passagen finde ich im Beweis schlecht formuliert und würde sie gerne durch die jeweils folgenden ersetzen:

• 'Der Anfang:'

"Sei irgendeine Folge reeller Zahlen im halboffenen Intervall [0,1[. Wir werden zeigen, ...

Ich würde lieber explizit sagen was passiert:

Beweis durch Widerspruch: angenommen, es gäbe im halboffenen Intervall [0,1[ nur abzählbar viele reelle Zahlen. Dann existiert eine Folge , in der alle vorkommen. Wir werden zeigen ...(ab hier wie oben)

• Das Nächste was mich stört, ist die 'Konstruktion':

Wenn a₁₁ = 5 ist, setzen wir x₁ = 4, sonst x₁ = 5. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass x eine andere Zahl ist als z₁.

Wenn a₂₂ = 5 ist, setzen wir x₂ = 4, sonst x₂ = 5. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass x eine andere Zahl ist als z₂"...

Warum wird 4 und 5 gewählt? Warum nicht 0 und 1? Entweder "Mathejargon-konform", oder noch in einem Nachsatz darauf hinweisen, dass es egal ist, welche Ziffern man für die neue Zahl nutzt

• Der letzte Punkt ist, wir gehen wir durch eine '"ganze Folge"':

"So gehen wir durch die ganze Folge und erhalten eine Zahl x, die sich von allen Zahlen in der Folge unterscheidet, und die größer als 0 und kleiner als 1 ist. Diese Zahl nennt man die Diagonalzahl, die der Folge (z_i) zugeordnet wird. Die Folge (z_i)..."

Das ist natürlich bei einer unendlichen Folge schwierig zu machen, deswegen:

Nach Annahme taucht ja jede reelle Zahl größer 0 und kleiner 1 in der Folge (z_i) auf. Nach obiger Konstruktion ist die neue Zahl x, die "Diagonalzahl" genannt wird, aber von jeder Zahl in der Folge verschieden und liegt zwischen 0 und 1, taucht aber in (z_i) nicht auf. Denn an der n-ten Dezimalstelle unterscheidet sie sich von der n-ten Zahl in der Folge. Die Folge (z_i)... (ab hier wie oben)

Der Rest ist wieder ok. Was meint ihr? --Xario 19:46, 18. Okt 2006

[Bearbeiten] [0;1] -> [0;1[

Die Änderung

Wir nehmen zuerst einmal an, es gäbe eine Folge, die alle reellen Zahlen im Intervall [0, 1[ enthält.

kann ich nicht ganz nachvollziehen. Welchen wesentlichen Unterschied macht es, ob man [0, 1] oder [0, 1[ betrachtet? Und wenn die Änderung bleiben soll, dann müsste der Rest des Abschnitts ebenfalls angepasst werden. Recherche-Frage: Was genau hat Cantor ursprünglich gemacht? --SirJective 00:30, 28. Sep 2004 (CEST)

Im Prinzip ist das egal. Aber wenn man nur Zahlen mit der Dezimalbruchdarstellung 0,xxxxx zulässt, ist die 1 nicht mit drin, außer man lässt als gültigen Dezimalbruch zu. Aber soweit ich weiß, werden solche 9er-Perioden im Dezimalsystem eh meist ausgenommen, da sie die Eindeutigkeit der Dezimalbruchdarstellung verletzen. Um da halt keinen Ärger zu bekommen, und außerdem das Intervall auch ein halboffenes ist, bietet sich die Abbildung in ein halboffenes Intervall [0;1[ irgendwie an. Finde ich. Wir hatten in der Mathevorlesung jedenfalls den Beweis mit dem halboffenen Intervall, also ohne die 1. --RokerHRO 13:01, 28. Sep 2004 (CEST)

Mit der momentan gegebenen Ersetzungsregel (5 -> 0, !5 -> 5) kommt man ohne die 0 im Intervall nicht aus, aber ohne die 1 (mit einer anderen Regel könnte man sich sogar auf ]0, 1[ beschränken). Diese Regel sorgt auch dafür, dass die Diagonalzahl nicht nur als Ziffernfolge, sondern als Zahl von jeder in der Folge verschieden ist. Da nicht verlangt werden muss, dass jede Zahl nur einmal in der Folge auftaucht, sehe ich keine möglichen Probleme mit der Neunerperiode.

Wir haben auch mit [0, 1[ gearbeitet in der Analysis-I-Vorlesung, aber die englische Seite arbeitet mit [0, 1]. Damit bleiben noch zwei Punkte offen:

1. Wie hat es Cantor gemacht? (Das wäre allein aus historischen Gründen schon interessant, man muss es ja nicht unbedingt wie er machen.)
2. Der Rest des Abschnittes müsste an die Änderung angepasst werden. Vielleicht sollte man einfach noch dazusagen, dass jede der vier Möglichkeiten zum selben Ergebnis führt, nach einer Anpassung der Regel (z.B. auf 5 -> 4, !5 -> 5).

--SirJective 19:40, 28. Sep 2004 (CEST)

Ich meinte damit, dass man die 9er-Periode bei Dezimalbruchdarstellungen reeller Zahlen generell ausklammert. Zumindest war das in unserer Mathe-Vorlesung so. :-) --RokerHRO 00:24, 5. Okt 2004 (CEST)

Kann sein, weiß nicht mehr, wie ich's gelernt hab. Hab die Umstellung auf [0, 1[ fortgesetzt. Der Vorschlag im zweiten Satz von Punkt 2 (vier Möglichkeiten) gilt aber noch. --SirJective 00:46, 5. Okt 2004 (CEST)

Ich hab jetzt die Gleichgültigkeit der Wahl des Intervalls erwähnt und auch den scheinbaren Widerspruchsbeweis etwas direkter formuliert. So wie Euklid zeigt, dass es zu jeder endlichen Menge von Primzahlen eine weitere gibt, zeigt Cantor (dessen Beweis ich leider noch nicht im Original lesen konnte), dass es zu jeder Folge von Zahlen eine weitere Zahl gibt. Die Folgerung, dass es also unendlich viele Primzahlen bzw. keine Folge die alle Zahlen enthält gibt, ist dann leicht - oder Ansichtssache ;-) --SirJective 16:07, 19. Okt 2004 (CEST)

Wie wir inzwischen nachlesen können, macht Cantor es zunächst (Über eine Frage der mannigfaltigkeitslehre) recht abstrakt in einer unendlichen Menge von Elementen in unendlicher binärer Darstellung, und ergänzt dann später in "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (Paragraph 4), daß diese z.B. eineindeutig auf die Dualbrüche im abgeschlossenen Intervall [0,1] abgebildet werden können. Daraus, daß die darin aufgrund zweifacher Darstellungsmöglichkeit doppelt enthalten Zahlen 2^(-n) nur eine abzählbare Teilmenge bilden, folgt der Rest.--Chef Diskussion 15:10, 11. Apr 2005 (CEST)

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[Bearbeiten] Dezimalbruchentwicklung

Kann man hier die Dezimalbruchentwicklung als Voraussetzung nehmen? Sie ist zumindest für mich zweifelhaft.

Die Dezimalbruchentwicklung ist nicht eindeutig. So gibt es für die Zahl 1 zwei Dezimalbruchentwicklungen: 1. 1,00000 ... 2. 0,99999 ...

(Es wurde in der Diskussion erwähnt.)

Aus diesem Grund gibt es für jede Zahl mindestens zwei Dezimalbruchentwicklungen. In der Diskussion wurde das nur für die 1 betrachtet. Wird das bei dem Beweis beachtet und ist es relevant? --

Man könnte weitere Dezimalbrüche konstruieren:

3. 0,9999 ... xxxx (wobei xxxx eine beliebige Ziffernfolge wäre, aber zwischen der ersten 9 und x liegen unendlich viele Ziffern und 0,0 ... xxxx < 1- 0,999 ... .)

Hutschi 15:26, 23. Mär 2005 (CET)

Für reelle Zahlen r, für die es eine Zehnerpotenz 10^n gibt, so dass r * 10^n ganzzahlig ist - gemeinhin als endliche Dezimalbrüche bezeichnet - gibt es genau zwei Dezimalbruchentwicklungen. Eine endliche, und eine unendliche mit 9-Periode. Alle anderen reellen Zahlen haben eine eindeutige Darstellung.

Es ist in diesem Beweis egal, welche der beiden möglichen Darstellungen man für seine Zahlen nimmt, es ergibt sich nur möglicherweise eine andere Diagonalzahl. Die gewählte Ersetzungsregel liefert stets eine Zahl, die eine eindeutige Darstellung hat, also garantiert nicht in der Folge auftritt.

Fraenkel (Einleitung in die Mengenlehre, 1923, S. 34ff) verwendet das Intervall ]0, 1] und wählt stets die nichtabbrechende Darstellung (also ggf. die 9-Periode), legt aber für die Ersetzungsregel nur fest, dass (in der Notation des Artikels) ist. Die ursprüngliche Darstellung von Cantor (Jahresbericht der Deutsch. Math. Vereing. Bd. I, S. 75-78 (1890-91)) hab ich leider immer noch nicht einsehen können, weil der Band in meiner Mathe-bib fehlt.

Was meinst du mit "0,9999 ... xxxx (wobei xxxx eine beliebige Ziffernfolge wäre, aber zwischen der ersten 9 und x liegen unendlich viele Ziffern und 0,0 ... xxxx < 1- 0,999 ... .)"? Dir ist hoffertlich klar, dass es keine Dezimalbruchentwicklung gibt, bei der hinter unendlich vielen 9en noch Ziffern kommen. --SirJective 17:49, 23. Mär 2005 (CET)

Durchaus nicht. Aber für den Cantorschen Beweis scheint es irrelevant zu sein, da es höchstens bedeuten würde, dass es mehr Zahlen gäbe, die nicht abzählbar sind. Insofern war die Frage voreilig. Für mich sind unendlich viele Neunen auch unklar, denn dahinter wären ebenfalls unendlich viele Neunen. Die Frage ist jetzt, ob es eine kleinste Dezimalbruchdarstellung für eine Zahl gibt, ob es eine größte gibt, und wie groß die Differenz ist. Wenn man in den Beweis jeweils die kleinste Dezimaldarstellung einsetzt, so geht das für alle rationalen Zahlen, nicht jedoch für irrationale Zahlen. Danke aber für die Erklärung. Für den Cantorschen Beweis scheint sie ausreichend zu sein. --Hutschi 19:21, 23. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Diagonal-"Beweis"

Dieser Beweis ist -leider- Unsinn, denn er wäre genauso auf die natürlichen Zahlen N anwendbar! RA-Raisch

Nein. Natürliche Zahlen haben nur endlich viele Ziffern, und die konstruierte "Zahl" hat unendlich viele.--Gunther 12:33, 22. Jun 2005 (CEST)

Aber Gunther, es gibt nach ZFC unendlichviele natürliche Zahlen und eine unendliche Zahl hat unendlichviele Ziffern.

Ich vermute, du wolltest mit deinem Argument sagen, dass die Diagonalzahl keine natürliche Zahl ist, weil sie unendlich viele Ziffern hätte und daher nicht in der Liste der natürlichen Zahlen vorkommen müßte.

Für die ersten 100 natürlichen Zahlen erhalte ich eine Diagonalzahl mit 100 Ziffern usw. Unendlich lang wird die Diagonalzahl erst dann, wenn ich unendlich viele natürliche Zahlen hätte. Diese Zahlen haben dann natürlich auch unendlich viele Ziffern.

Das ist bei den reellen Zahlen auch nicht anders. Für die ersten 100 reellen Zahlen erhalte ich eine Diagonalzahl mit 100 Ziffern usw. Die Diagonalzahl wird erst dann unendlich lang, wenn ich unendlich viele Zahlen habe, was aber nie zu erreichen ist.RA-Raisch

Hallo Rainer, du kannst dich von mir aus gern weiter lächerlich machen (Cantors Diagonalargument gilt in der allgemein üblichen Mathematik, in der es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die allesamt nur jeweils endlich viele Ziffern haben; über andere Theorien der Mathematik wird da nichts ausgesagt).

Diese Diskussionsseiten sind jedoch nicht der Ort, das Thema dieses Artikels und die Grundlagen der hierin verwendeten Mathematik zu diskutieren: Dafür gibt es genug Foren und Newsgroups. Wenn du Literatur angeben kannst, die etwas anderes behauptet als in diesem Artikel steht, dann könntest du sie nennen. --SirJective 08:24, 23. Jun 2005 (CEST)

Hallo SirJective, wie ist es möglich, dass es "unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die allesamt nur jeweils endlich viele Ziffern haben"? Eine Zahl mit endlich vielen Ziffern ist eine endliche Zahl und eine unendliche Zahl hat auch unendlich viele Ziffern.

SirJective fordert Literaturangeben und hat selbst den folgenden Hinweis auf Kritik gelöscht: Der Zauber Cantors oder das verlorene Paradies

Mir ist bekannt, dass Cantors Theorie auf Widersprüchen aufbaut, die die Cantorianer leugnen. Ich bewundere zwar Cantor, habe aber durch eigene Intuition eingesehen, dass das nicht stimmen kann und habe dann die Widersprüche in der Theorie erkannt und festgestellt dass ich nicht alleine bin. Ich meine aber, dass der Artikel darauf hinweisen sollte, dass es heute immer noch eine ernsthafte Gegenmeinung gibt (damit meine ich nicht mich).

Wenn ich nicht die Menge N nehme sondern N10 also alle Zahlen, die mit Eins beginnen und sonst nur Nullen aufweisen. N10 ist gleich mächtig wie N. Mit dieser Definition der Mächtigkeit kann ich mich einverstanden erklären und ich akzeptiere auch den Beweis durch Bijektion. Wenn ich nun also unendlich viele Elemente in N10 habe, sollte jeder sofort einsehen, dass diese dann auch (zum Teil) unendlich lange Ziffernreihen haben. Jedenfalls das "letzte" bzw "unendlichste" Element. Solange dieses nicht existiert, ist N10 nicht vollständig und nicht unendlich mächtig. Wieso sollte das bei N anders sein, dass also die Ziffernreihen unendlich lang werden.

Ich kann zB mit Cantors eigenen Beweismitteln beweisen, dass das Theorem der Potenzmengen falsch ist, weil ich eine geordnete Liste der Elemente bilden kann bzw eine einfache Bijektion zur ursprünglichen Menge oder zu N angeben kann. Ich möchte dies hier aber noch nicht veröffentlichen, weil ich davon ausgehe, dass ein ordentliches Werk ordnungsgemäß veröffentlicht werden muss. Für Hinweise hierzu wäre ich daher dankbar.RA-Raisch

Heutige Mathematik basiert auf ZFC oder einem äquivalenten Axiomensystem bzw. einer Formalisierung davon. Stimmst Du mit dieser Grundlage überein? (Wenn nein: Welche Grundlage verwendest Du? Was ist eine Menge, welche Definition der natürlichen Zahlen verwendest Du?) Wie definierst Du das "letzte bzw. unendlichste Element"?--Gunther 20:26, 26. Jun 2005 (CEST)

Natürlich stimme ich mit dem ZFC überein. Natürlich gibt es das "unendlichste" Element (nach Cantor omega) nicht, ebenso wie es real nicht unendlich viele Elemente gibt. Wenn ich von unendlich vielen Elementen spreche, meine ich natürlich unerreichbar viele Elemente. "Unendlich" ist der unerreichbare Grenzwert. N hat unendlich (unerreichbar) viele Elemente. Nur kann ich diese nicht real aufzählen. Es ist daher auch sinnlos davon zu sprechen, dass die Diagonalzahl zu irgend einem Zeitpunkt real unendlich viele Stellen erreicht. Wenn sie unendlich lang ist, befinde ich mich bereits im unerreichbaren Unendlichen und dann habe ich auch bereits unendlich viele Elemente erreicht, was real nicht möglich ist, aber ich bin gerne bereit, darüber mit Cantor gedanklich zu spekulieren. Aber dann bitte mit voller Konsequenz und nicht mit Gegenargumenten, die in diesem Bereich bereits über Borg geworfen wurden. Es mag auch sein, dass das Kontinuum mehr als unendlich viele Elemente aufweist, das klingt nicht schlecht, nur meine ich, reichen Cantors Beweise hierfür nicht aus, da das Diagonalverfahren auch für N gelten würde. Und ich meine, R kann auf N bijektiv abgebildet werden, da es im Bereich [0,1[ nichts anderes als das Spiegelbild von N ist. RA-Raisch

Es geht bei diesen Beweisen nicht um "reale" Aufzählungen, sondern eine Aufzählung ist per definitionem eine Bijektion mit N innerhalb von ZFC, also ist N durch die identische Abbildung aufzählbar.--Gunther 09:47, 27. Jun 2005 (CEST)

Hallo Rainer. Da du "reale" Existenz und "Erreichbarkeit" forderst und von "Zeitpunkten" sprichst (die du vermutlich sogar physikalisch meinst) stimmst du mit ZFC anscheinend nicht überein. ZFC spricht nicht über "reale" Objekte.

Widersprüche in Cantors Mengenlehre aufzudecken ist heute nicht mehr schwer, das haben bereits Russell und andere getan. --SirJective 11:11, 27. Jun 2005 (CEST)

Achja, Nachtrag: Können wir diese Diskussion bitte in de.sci.mathematik oder in sci.math führen, wo schon Dutzende andere zu diesem Thema geführt wurden und werden? Auf diese Seite hier gehört sie nämlich nicht hin. Wenn sich daraus ein Fachartikel in einer mathematischen Zeitschrift ergibt, kann man dessen Resultate gern hier erwähnen. --SirJective 11:16, 27. Jun 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Kritik gelöscht

Von Rtc wurde einfach ein Kritikabsatz gelöscht. Habe ich unten teilweise wieder eingefügt. PaCo 18:46, 28. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Ersetzungsregel

Hallo,

die Ersetzungsregel ist nicht genuegend. Es sind ja leicht Folgen von rellen Zahlen vorstellbar, die nirgendwo in ihrer Dezimaldarstellung eine 5 haben. Vielleicht liege ich ja hiermit falsch, aber eine wasserdichtere Ersetzungsregel waere:

Wir konstruieren unsere neue Zahl als Dezimalbruch mit

x_i = a_ii + 1 (fuer a_ii <= 9)

x_i = 0 (sonst)

Wir rotieren also die i-te Stelle einen weiter, wie bei einem Zahlenschloss. Damit ist die neue Zahl in der i-ten Stelle unterschiedlich von der i-ten Zahl der Folge. Und damit unterschiedlich von allen Zahlen in der Folge. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 84.60.7.39 (Diskussion • Beiträge) 21:39, 27. Dez 2005 (CET))

Mir ist nicht klar, wo Du ein Problem bei der Regel im Artikel siehst: Aus Nicht-5 wird 5, aus 5 wird 4, es kommt also immer etwas anderes heraus.--Gunther 21:39, 27. Dez 2005 (CET)

Stimmt, Du hast vollkommen recht. /me stooopid - Flo -- 84.60.6.46 11:21, 28. Dez 2005 (CET)

[Bearbeiten] Konstruktivisten

Der Absatz ist völlig unverständlich und auch grammatisch mehrdeutig. „Konstruktivisten bezeichnen mit "reelle Zahlen" eine geeignet zu wählende berechenbare Teilmenge der berechenbaren Zahlen, auf die Cantors Beweis nicht übertragbar ist, da x keine berechenbare Zahl ist. Es lässt sich leicht zeigen, dass die berechenbaren Zahlen sowie jede ihrer Teilmengen abzählbar sind“. Der Relativsatz kann bedeuten, dass die Konstruktivisten eine Teilmenge wählen, die von vornherein die Eigenschaft hat, dass auf sie Cantors Beweis nicht übertragbar ist, und diese dann „reelle Zahlen“ nennen. Dann gibt es ex definitone keine reellen Zahlen, auf die Cantors Beweis übertragbar ist. Er kann auch bedeuten, dass es berechenbare Teilmengen gibt, auf die Cantors Beweis anwendbar ist, und andere auf die er nicht anwendbar ist - man muss sich nur die geeignete auswählen. Ist also die Nichtanwendbarkeit des Cantorschen Beweises eine Eigenschaft aller „reellen Zahlen“ der Konstruktivisten oder nur die einer ausgewählten Teilmenge? Und was soll „X“ repräsentieren? In dem Satz ein Kaninchen aus dem Hut. Fingalo 15:00, 3. Nov. 2006 (CET)