D’Alembertoperator

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Der d’Alembert-Operator (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) ist ein Differentialoperator, der sich aus der Verallgemeinerung des Gradienten auf den vierdimensionalen Minkowskiraum ergibt. Er wird auch Quabla, Viereckoperator oder Wellenoperator genannt.

[Bearbeiten] Definition

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) definiert man den Vierergradienten als

.

Durch nochmaliges Ableiten wird dies zu

,

womit der d’Alembert-Operator nichts anderes als die relativistische Form der zweiten Ableitung ist.

[Bearbeiten] Vorzeichenkonventionen

Wie in der SRT üblich sind die Vorzeichen von der Signatur der Metrik abhängig. Üblicherweise verwendet man in der SRT die Konvention (+,-,-,-) für die Minkowskimetrik, es wird jedoch auch (-,+,+,+) benutzt. Dementsprechend ergibt sich der d’Alembert-Operator zu

.

[Bearbeiten] Wellengleichung

Ursprünglich kommt der d'Alembert-Operator aus der Elektrodynamik und ergibt sich bei der Herleitung der Wellengleichung. Hieran ist deutlich zu erkennen dass es sich bei der Elektrodynamik bereits um eine relativistische Theorie handelte, noch ehe man die SRT kannte. Zudem ist der d'Alembert-Operator ein Lorentz-Skalar und somit invariant unter Lorentz-Transformationen. Er spielt damit auch eine wichtige Rolle in der relativistischen Elektrodynamik.

Unter Verwendung des d'Alembert-Operators kann die Wellengleichung in einer sehr kompakten Form geschrieben werden, mit

,

für eine Funktion f(x,t).