Einfache Funktion
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Eine Einfache Funktion ist definiert als eine Funktion 
, wenn gilt:
- u messbar
- u nimmt nur endlich viele Funktionswerte an.
Eine Einfache Funktion wird auch als Elementarfunktion, fälschlicherweise auch als Treppenfunktion bezeichnet.
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[Bearbeiten] Kanonische Darstellung
Eine Einfache Funktion u kann wie folgt dargestellt werden:
.
Diese Darstellung nennt man kanonisch. Dabei bezeichnet wi eine reelle Zahl und 
die Charakteristische Funktion.
[Bearbeiten] Verwendung
Einfache Funktionen werden vor allem zur Definition des Lebesgue-Integrals verwendet. Dabei wird das Lebesgue-Integral zunächst für positive einfache Funktionen definiert und dann für messbare positive Funktionen f wie folgt erweitert:
.
Dabei bezeichnet I(u) das Lebesgue-Integral für einfache, positive Funktionen.
[Bearbeiten] Verwechslung mit Treppenfunktionen
Häufig werden einfache Funktionen mit Treppenfunktionen verwechselt. Beide Funktionen nehmen nur endlich viele Funktionswerte an. Eine Treppenfunktion besteht jedoch auch nur aus endlich vielen Intervallen, auf denen sie konstante Funktionswerte hat (Diese Funktionen werden für die Riemann-Integration verwendet). Eine einfache Funktion dagegen kann, zum Beispiel auf beliebig vielen Intervallen immer abwechselnd zwei Funktionswerte annehmen und ist damit keine Treppenfunktion mehr (insbesondere ist der Indikator der rationalen Zahlen 
eine einfache Funktion - obwohl er nicht riemann-integrierbar ist).
[Bearbeiten] Quellenangabe
Vorlesungsskript zur Analysis III, Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
