Treppenfunktion
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Eine Funktion f: X -> Y auf einem Intervall 
heißt Treppenfunktion (oder auch fälschlicherweise einfache Funktion oder Elementarfunktion), wenn es disjunkte Intervalle X1, ..., Xn gibt, so dass
und f auf den Intervallen X1, ..., Xn konstant ist.
Treppenfunktionen benutzt man hauptsächlich zur Approximation von Integralen. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch
definiert. Der Vorteil ist hier, dass man ohne Grenzwertprozess (Limes) auskommt und nur endliche Summen hat. In der Formel bezeichnet l(Xi) die Länge des Intervalles Xi, also z.B. für Xi = [ai, bi] ist l(Xi) = bi - ai. Mit yi bezeichnen wir den Wert von f auf dem Intervall l(Xi).
Bereits durch die einfache Definition des Integrals einer Treppenfunktion hat man ein starkes mathematisches Hilfsmittel gewonnen: Jede beschränkte, stetige Funktion f: D -> Y, D, Y ⊆ R, kann beliebig genau durch eine Treppenfunktion approximiert werden. Also kann auch das Integral dieser Funktion beliebig genau approximiert werden. Diese Tatsache ist ein wichtiges Fundament für die Definition des Riemann-Integrals.
Beispiel: Wahrscheinlichkeitsfunktion
