Erlang C

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Erlang C ist ein synonymer Ausdruck für ein Warteschlangenmodell, das vom dänischen Mathematiker Agner Krarup Erlang am Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelte wurde, um die Wahrscheinlichkeit und die mittlere Dauer von Wartezeiten bei der Telefonvermittlung zu benennen. In wissenschaftlich gebräuchlicher Notation nach David George Kendall wird es als M|M|c-Modell bezeichnet. Synonym wird der Ausdruck Erlang C auch für die sog. Erlang C Formel benutzt, die die Verteilung der Wartezeit in diesem Modell wiedergibt. Heute wird das Erlang C Modell sowie die Formel u. A. in Callcentern eingesetzt, um aus den vorgegebenen Größen Anrufvolumen, Anzahl Bedienstationen (Agenten) und mittlerer Bedienzeit einen Servicelevel oder (indirekt über eine Servicelevel-Vorgabe) einen Personalbedarf zu ermitteln. Kritik am Erlang C-Modell wird im Rahmen der Servicelevelberechnung für Call Center vor allem deshalb laut, weil das Modell mehrere reale Gegebenheiten wie eine begrenzte Leitungs- oder Warteplatzanzahl, die Ungeduld der Anrufer oder heterogene Agenten- und Anrufergruppen nicht berücksichtigt.

Die ursprüngliche Formel, die der Mathematiker Erlang für dieses Problem aufgestellt hat, sieht wie folgt aus:

$\mbox{Arbeitsvolumen } a = \frac{\mbox{Anzahl der Anrufe} \cdot \mbox{Bearbeitungszeit}}{3600 \mbox{ Sekunden}}$

Erlang geht hier von Stunden-Intervallen aus. Verallgemeinern lässt sich die Formel wie folgt (t = frei wählbares Zeitintervall in Sekunden):

$a = \frac{\mbox{Anzahl der Anrufe} \cdot \mbox{durchschnittliche Bearbeitungszeit}}{t}$

Aus dem Erlang C Modell können mehrere Kenngrößen abgeleitet werden:

Stehen c Bedienstationen (Agenten) zur Verfügung, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Anrufer überhaupt warten muss und nicht sofort bedient wird, zu:

$P_{1} = P[W] = \frac{\frac{a^c}{c!} \cdot \frac{c}{c-a}}{\left( \sum_{n=0}^{c-1} \frac{a^n}{n!} \right) + \frac{a^c}{c!} \cdot \frac{c}{c-a}}$

Bezeichnet man mit $μ$ die Bedienrate oder äquivalent mit $E [X]$ die mittlere Zeit einer Bedienung (eines Gesprächs), dann gilt $μ = E [X] - 1$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein typischer Kunde weniger als $t$ Sekunden warten muss, berechnet sich dann zu

$P[W \le t] = 1-P_{1} \cdot e^{-\mu(c-a) \cdot t}$

Für ein Anwendungsbeispiel, siehe Servicelevel.

[Bearbeiten] Kritik an Erlang C

Obwohl die Anwendung des Erlang C-Modells weit verbreitet ist, gibt es zahlreiche Kritikpunkte. Die Realität unterscheidet sich in vielen Punkten vom Modell.

Begrenzte Geduld der Anrufer

Der Anrufer wird nicht unbegrenzt lange in der Warteschlange warten, sondern nach einer gewissen Zeitspanne auflegen.

Begrenzter Warteraum

Der Warteraum ist durch die Anzahl der vorhandenen Leitungen im Call Center begrenzt. Sind diese belegt, hört der Anrufer ein Besetztzeichen.

Abnehmender Grenznutzen

Ab einem gewissen Servicelevel-Schwellenwert (80-90%) bringt der Einsatz zusätzlicher Mitarbeiter nur noch marginale Verbesserungen der Erreichbarkeit. Dies wird als Ertragsgesetz bezeichnet.

Unproduktivität

Pausenzeiten der Mitarbeiter werden nicht berücksichtigt.

Sensitivität der Formel

Die Erlang-C Formel kann schon bei kleinen Variationen der Parameter λ, μ und c deutlich unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Dies ist besonders der Fall, wenn a nahe bei c liegt.

Dynamische Ankunftsraten

Oft trifft die Annahme der Ankunftsverteilung nicht zu. Kurz nach einem Werbespot tritt eine massive Häufung von Anrufen auf.

Heterogene Agenten

Die Agenten sind im Regelfall nicht alle auf einem Wissenstand, sondern haben bestimmte "Spezialgebiete".

Heterogene Anrufer

Oftmals bilden die Anrufer keine homogene Gruppe, sondern mehrere heterogene Gruppen - beispielsweise bei "Premium-Kunden".

Diese Ungenauigkeiten führen in der Summe im Regelfall zu einer Überdeckung (es werden mehr Agenten beschäftigt, als benötigt).

[Bearbeiten] Alternativen zum Erlang-C Modell

Es werden verschiedene auf Erlang-C basierende Algorithmen in Workforce-Management Systemen verwendet, die bessere Ergebnisse liefern. In der Regel sind diese Algorithmen jedoch nicht veröffentlicht.

Es existieren bessere Warteschlangenmodelle, die jedoch nicht weit verbreitet eingesetzt werden. In zunehmendem Maße werden stattdessen Simulationsprogramme eingesetzt.