Erneuerungsprozess
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Ein Erneuerungsprozess 
ist ein Sonderfall eines Zählprozesses, in dem die Zwischenankunftszeiten 
unabhängige, identisch verteilte, nichtnegative Zufallsvariable sind. Der Begriff Erneuerung hat seinen Ursprung in industriellen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Typischerweise besitzen Systemkomponenten (z. B. Maschinen, Werkzeuge, Beleuchtungskörper) Lebenszeiten, die den Charakter nichtnegativer Zufallsvariabler haben. Wenn solche Komponenten ausfallen, müssen sie ersetzt werden (erneuert) durch gleichartige Komponenten, um das Funktionieren des Systems zu gewährleisten.
[Bearbeiten] Eigenschaften
N(t) ist definiert als die Anzahl der Erneuerungen bis zum Zeitpunkt t. Diesem stochastischen Prozess äquivalent ist der Prozess 
:
dabei bezeichnen die Xi die Zwischenankunfstzeiten, z. B. die Lebenszeiten von Komponenten.
Mit anderen Worten: Sn ist der Zeitpunkt der n-ten Erneuerung. Die Äquivalenz zwischen N(t) und Sn kommt zum Ausdruck in der grundlegenden Beziehung
Ein Erneuerungsprozess ist daher vollständig charakterisiert durch die gemeinsame Verteilung 
der Zwischenankunftszeiten Xi. Da Sn Summe unabhängiger Zufallsvariabler ist, ist die Verteilung Fn(t) von Sn die n-fache Faltung der Verteilung F(t), und es gilt:
Die mittlere Anzahl der Erneuerungen im Zeitintervall (0,t) heißt Erneuerungsfunktion. Diese ist eine Funktion M(t), die mittels der Verteilungen Fn(t) im Prinzip exakt angegeben werden kann:
![M(t)=E[N(t)] = \sum_{n=1}^\infty n\left[F_n(t)-F_{n+1}(t)\right]=\sum_{n=1}^\infty F_n(t) \,](../../../math/1/a/4/1a4d2118b2e3750c2667e683390f82be.png)
