Extremwerttheorie
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Die Extremwerttheorie ist eine mathematische Disziplin, die sich mit Ausreißern, d.h. maximalen und minimalen Werten von Stichproben beschäftigt.
Ein zentrales Resultat ist die Tatsache, dass für das Maximum (und das Minimum) einer Stichprobe (egal welcher Verteilung) im Wesentlichen nur drei Grenzverteilungen möglich sind.
Formal: Es sei 
die Verteilungsfunktion des Maximums von n Zufallsvariablen. Falls dann Folgen 
existieren, so dass die Konvergenz 
gilt, so kann G nur eine der folgenden Verteilungen sein, je nachdem, ob die Ausläufer der Verteilung exponentiell abfallen, polynomisch abfallen, oder an einer Stelle den Wert Null erreichen:
- Gumbel-Typ (Typ I). Genauer: Wenn die Variable x eine Weibull-Verteilung hat, so hat log(x) eine Extremwertverteilung vom Typ I.
- Fréchet-Typ (Typ II). Genauer: Wenn die Variable x eine Weibull-Verteilung hat, so hat 1 / x eine Extremwertverteilung vom Typ II.
- Weibull-Typ (Typ III). Genauer: Wenn die Variable x eine Weibull-Verteilung hat, so hat − x eine Extremwertverteilung vom Typ III.
Diese drei Verteilungen können auch zu einer einzigen Klasse (Jenkinson–von Mises Darstellung) parametrisiert werden. Die (oder eine) verallgemeinerte Verteilung heißt Extremwertverteilung. Als Parameter werden oft K, σ und μ verwendet, wobei K<0 eine Typ III Verteilung beschreibt und K>0 eine Typ II Verteilung.
Sie findet unter anderem Anwendung in der Finanzmathematik und Versicherungsmathematik.
Typische Fragestellungen könnten unter anderem sein:
- Wie hoch soll ein Staudamm gebaut werden, wenn man sichergehen möchte, dass er in den nächsten 100 Jahren nicht überschwemmt wird?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Börsencrashs von mehr als 15% im kommenden Jahr?
[Bearbeiten] Literatur
- Emil Julius Gumbel: Statistics of extremes. Columbia University Press, New York (1958).
