Filtrierung

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Dieser Artikel beschreibt das mathematische Konzept der Filtrierung. Für das mechanische Trennverfahren siehe Filtration.

Der Begriff Filtrierung (auch Filtration, Filterung oder Filtern) bezeichnet in der Theorie der stochastischen Prozesse eine Familie von Sigma-Algebren, die Informationen über den Verlauf von Prozessen enthält.

[Bearbeiten] Definition

Sei $T$ eine beliebige geordnete Indexmenge (üblicherweise $\mathbb{R}_+$ oder $\mathbb{N}_0$ ). Eine Familie $(\mathcal{F}_t),t \in T$ von Sigma-Algebren heißt Filtrierung, falls für alle $s,t \in T, s<t: \mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t$ gilt (d.h. Die Familie ist aufsteigend geordnet).

Eine alternative Definition fordert zusätzlich, dass die Familie der Sigma-Algebren rechtsseitig stetig ist, dass also gilt:

$\forall t \in T: \;\; \bigcap_{s>t}\mathcal{F}_s = \mathcal{F}_t$ .

Ein stochastischer Prozess $(X_t), t \in T$ heißt an die Filtrierung $(\mathcal{F}_t),t \in T$ angepasst (oder adaptiert), wenn $X t$ stets $\mathcal{F}_t$ -messbar ist für alle $t$ .

[Bearbeiten] Verwendung des Begriffes

Der Begriff der Filtrierung ist unerlässlich, um, ausgehend vom Begriff des stochastischen Prozesses, wichtige Begriffe wie Martingale oder Stoppzeiten einzuführen.

Die Mengen der Sigma-Algebra $\mathcal{F}_t$ geben zu jedem Zeitpunkt t an, wie viele Informationen zur Zeit bekannt sind. Für jede Menge $A \subseteq \Omega$ bedeutet $A \in \mathcal{F}_t$ übersetzt, dass zum Zeitpunkt t die Frage "ist $\omega \in A ?$ " eindeutig mit "ja" oder "nein" beantwortet werden kann (genaueres dazu siehe unter Sigma-Algebra). Dass die Filtrierung stets aufsteigend geordnet ist, bedeutet demnach, dass eine einmal erlangte Information nicht mehr verloren geht.

Ist ein Stochastischer Prozess $(X_t), t \in T$ an eine Filtrierung $(\mathcal{F}_t),t \in T$ adaptiert, bedeutet dies also, dass der Verlauf der Funktion $t \mapsto X_t(\omega)$ im Intervall [0,t] zum Zeitpunkt t (für beliebiges aber unbekanntes $\omega \in \Omega$ ) komplett bekannt ist.

[Bearbeiten] Beispiele

Natürliche Filtrierung: Ist $(X_t),t \in T$ ein stochastischer Prozess, so wird das durch $\mathcal{F}_t:=\sigma({X_s;s \le t})$ erzeugte System als natürliche Filtrierung des Prozesses bezeichnet ( $σ$ bezeichnet dabei den Sigma-Algebren-Operator, siehe dazu Sigma-Algebra). Es ist also zu jedem Zeitpunkt $t$ die vollständige Information über den vergangenen Verlauf des Prozesses bis einschließlich zum Zeitpunkt $t$ vorhanden.

Filtrierung der vollständigen Information: Ist der Prozess $(X_t),t \in T$ auf dem Grundlegenden Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ definiert, so wird durch $\mathcal{F}_t:=\mathcal{A}\;\forall t \in T$ eine Filtrierung definiert, die Filtrierung der Vollständigen Information. Hier ist also zu jedem Zeitpunkt $t$ die vollständige Information über den gesamten Verlauf des Prozesses zu jedem Zeitpunkt vorhanden.

[Bearbeiten] Spezielle Eigenschaften

Die zur Filtrierung $\mathcal{F}$ gehörende terminale Sigma-Algebra erfüllt $\mathcal{F}_\infty = \sigma(\bigcup_{t \in T} \mathcal{F}_t)$ .

Zu einem beliebigen Zeitpunkt $t \in \R$ definiert man als linken Grenzwert der Filtrierung die Sigma-Algebra $\mathcal{F}_{t-} := \sigma(\bigcup_{s<t} \mathcal{F}_s)$ .

Dabei gilt stets $\mathcal{F}_{t-} \subseteq \mathcal{F}_t$ . Stimmen Filtrierung und linker Grenzwert zu jedem Zeitpunkt überein, so heißt die Filtrierung linksseitig stetig. Eine stetige Filtrierung ist konsequenterweise eine solche, die links- und rechtsseitig stetig ist.