Geschwindigkeitspotential

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Das Geschwindigkeitspotential $φ$ führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen in der Fluiddynamik ein. Damit vereinfachen sich die Rechnungen und außerdem gewinnt man ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential in der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen Potential, bzw. dem Gravitationspotential.

Dieser Artikel behandeit den zweidimensionalen Fall; der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.

Löst man die Gleichung $φ(x, y) = c o n s t$ , so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.

Man führt außerdem die sogenannte "Stromfunktion" $ψ$ ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung $ψ(x, y) = c o n s t$ die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der "Stromfunktion" bildet man dann das komplexe Geschwindigkeitspotential.

[Bearbeiten] Grundlagen des Geschwindigkeitspotentials

Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld $\vec u(x,y)$ gilt:

$\vec\nabla\times\vec u(x,y)=0$

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential $φ(x, y)$ ein:

$\vec u(x,y)=\vec\nabla\phi(x,y)=\left(\frac{\partial\phi}{\partial x} ,\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)$

Wegen $\vec\nabla\times\vec\nabla=0$ ist das Strömungsfeld somit automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld die Kontinuitätsgleichung:

$\vec\nabla\cdot\vec u=0$

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man sofort, dass $φ(x, y)$ die Poisson-Gleichung erfüllt:

$\vec\nabla\cdot\vec u=\vec\nabla\cdot\vec\nabla\phi=\Delta\phi=0$

[Bearbeiten] Die Stromfunktion

Das Geschwindigkeitspotential $φ(x, y)$ wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung, bzw. der Poisson-Gleichung explizit gefordert werden. Nun führt man die sogenannten Stromfunktion $ψ(x, y)$ ein, die definiert ist durch:

$\vec u=\left( \frac{\partial\psi}{\partial y},-\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)$

Aus dieser Definition sieht man sofort, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

$\vec\nabla\cdot\vec u=\frac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y} -\frac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x}=0$

Die Wirbelfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

$\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}=\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}=0$

Im Unterschied zum Geschwindigkeitspotential erhält man bei der Stromfunktion also die Kontinuität automatisch und muss die Wirbelfreiheit fordern. Ferner erfüllt die Stromfunktion ebenfalls die Poisson-Gleichung.

[Bearbeiten] Komplexes Geschwindigkeitspotential

Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential $φ$ und "Stromfunktion" $ψ$ ergibt sich:

$u_x=\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial y} \quad\wedge\quad u_y=\frac{\partial\phi}{\partial y}=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$

Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil $φ$ und Imaginärteil $ψ$ . Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential $w (z)$ ein:

$w(z)=\phi(z)+i\psi(z) \quad\textrm{mit}\quad z=x+iy$