Poisson-Gleichung

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Poisson-Geichungen aus der Elektrostatik und der klassischen Gravitationstheorie. In der Thermodynamik bezieht sich die Poisson-Gleichung auf eine Adiabatische Zustandsänderung.

Die Poisson-Gleichung (nach Siméon Denis Poisson) beschreibt ein Randwertproblem, bei dem die Ableitungen eines Vektorfeldes auf der Oberfläche eines Volumens gegeben sind. Anwendung findet diese beispielsweise in der Elektrostatik (Gaußsches Gesetz). Ebenso kann man das Gravitationspotential einer gegebenen Massenverteilung bestimmen.

Die Poisson-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

$\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \Phi(x) = f(x)$

oder kürzer

$\nabla^2 \Phi = f$

oder

ΔΦ = f

d.h. in der Poissongleichung wird der Laplace-Operator $Δ$ angewendet auf eine Funktion $Φ$ gleich $f$ gesetzt.

Die homogene Form der Poisson-Gleichung ist die Laplace-Gleichung.

[Bearbeiten] Elektrostatik

Da das elektrische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials $\Phi(\mathbf r)$ ausgedrückt werden, mit

$\mathbf E(\mathbf r)=-\nabla \Phi(\mathbf r)$ .

Mit Anwendung eines weiteren Nabla-Operators ergibt sich

$\nabla \mathbf E(\mathbf r)= -\Delta \Phi(\mathbf r)$ .

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

$\nabla \mathbf E(\mathbf r)=\frac{\rho(\mathbf r)}{\epsilon_0}$ ,

wobei $\rho(\mathbf r)$ die Ladungsdichte und $ε 0$ die Permittivität sind.

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

$\Delta \Phi(\mathbf r)=-\frac{\rho(\mathbf r)}{\epsilon_0}$

[Bearbeiten] Gravitation

Die Gravitationsbeschleunigung ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu

$\mathbf g=-\frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r}$ .

Der Fluss durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens ist dann

$\oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r} \, \mathbf n \, \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\frac{\mathbf r}{r} \frac{\mathbf r}{r} \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2} \mathrm d A$ ,

wobei $\mathbf n=\frac{\mathbf r}{r}$ der Normalenvektor ist. In Kugelkoordinaten gilt

$dA=r^2 \sin(\theta) \, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi$ ,

woraus folgt

$-\oint_A \frac{GM}{r^2} \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2} r^2 \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi=-\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} GM \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi= -4 \pi G M$