Graham Scan

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Der Mathematiker Ronald Graham entdeckte 1972 einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der konvexen Hülle eines simplen Polygons. Seine asymptotische Laufzeit ist $O (n log n)$ .

Inhaltsverzeichnis

1 Beschreibung
2 Pseudocode
3 Pseudocode (ohne Stack)
4 Weblinks

[Bearbeiten] Beschreibung

[Bearbeiten] Vorbereitung

Sortierung einer Punktmenge nach Winkel mit Bezugspunkt

P 0

. Der Winkel zwischen

a

und

c

(

α

) ist größer als der zwischen

b

und

c

(

β

), wenn

T (P 0, P 1, P 2) < 0

Sei $S = {P}$ eine endliche Punktmenge. Der Algorithmus beginnt mit einem Punkt der Menge welcher garantiert ein Eckpunkt der konvexen Hülle ist. Man sucht sich dazu den Punkt mit der kleinsten Ordinate. Sind dies mehrere, so sucht man sich aus diesen Punkten den mit der kleinsten Abzisse aus (lexikographische Suche). Diese Suche kann in $O (n)$ Schritten durchgeführt werden. Nachdem der Startpunkt $P 0$ gefunden wurde, sortiert der Algorithmus die restlichen Punkte $P$ in $S$ nach aufsteigendem Winkel zwischen $P 0$ -> $P$ und der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Haben dabei zwei Punkte den gleichen Winkel (d. h. liegen mit $P 0$ auf einer Linie, sind kollinear mit $P 0$ ), so wird der Punkt welcher näher an $P 0$ liegt verworfen.

Will man bestimmen, ob ein Punkt links von einem anderen liegt d. h. ob die Linie eines Punkts mit dem Startpunkt einen größeren Winkel zur x-Achse hat als ein anderer Punkt mit dem Startpunkt, sollte man keine trigonometrischen Funktionen verwenden. Die Funktion $T (P 1, P 2, P 3)$ liefert das gewünschte Ergebnis mit weniger Rechenaufwand (fünf Subtraktionen, zwei Multiplikationen) und genauer. Das Ergebnis bleibt hier im rationalen Zahlenbereich, welcher von einigen Softwarepaketen ohne Verlust von Genauigkeit abgebildet werden kann. $T$ bekommt drei Punkte $P 1$ , $P 2$ und $P 3$ übergeben. Das Ergebnis wird über den folgenden Ausdruck berechnet.

$T(P_1, P_2, P_3) = (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) = \begin{cases} > 0, & \text{wenn }P_3\text{ ist rechts von }P_1\text{ nach }P_2 \\ = 0, & \text{wenn }P_3\text{ ist auf }P_1\text{ nach }P_2 \\ < 0, & \text{wenn }P_3\text{ ist links von }P_1\text{ nach }P_2 \end{cases}$

[Bearbeiten] Berechnung

Nach Winkel sortierte Punktmenge –

P 0

wird als Startpunkt gewählt, da er den kleinsten Ordinatenwert hat.

P 1

fällt heraus, da er mit

P 2

und

P 0

kollinear ist.

$S$ sei nun die sortierte Punktmenge. Als nächstes läuft man alle Punkte in $S$ durch und prüft, ob diese Eckpunkte der konvexen Hülle sind. Es wird ein Stapelspeicher (Stack) angelegt, auf welchem sich alle Eckpunkte der konvexen Hülle für alle bereits abgearbeiteten Punkte befinden. Zu Beginn liegen $P 0$ und $P 1$ auf dem Stapel. Im $k$ -ten Schritt wird $P k$ zur Betrachtung herangezogen und berechnet, wie er die vorherige konvexe Hülle verändert. Aufgrund der Sortierung liegt $P k$ immer außerhalb der Hülle der vorherigen Punkte $P i$ mit $i < k$ .

Durch das Hinzufügen des Punktes kann es vorkommen, dass bereits auf dem Stapel liegende Punkte nicht mehr zur neuen konvexen Hülle gehören. Diese Punkte müssen mittels der „pop“ Operation vom Stapel entfernt werden. Ob ein Punkt noch zur konvexen Hülle gehört oder nicht ermittelt man, indem man berechnet, ob $P k$ links oder rechts des Vektors PT2->PT1 liegt (PT1 = oberstes Element des Stapels, PT2 = Element direkt unter PT1). Liegt $P k$ links, so bleibt PT1 weiterhin auf dem Stapel und $P k$ wird mit „push“ auf dem Stapel abgelegt, liegt $P k$ rechts, so wird PT1 von der neuen konvexen Hülle verschluckt, vom Stapel entfernt und die nächsten beiden oberen Punkte untersucht.

Dieser Test wird solange durchgeführt, bis $P k$ links des Vektors PT2->PT1 oder nur noch $P 0$ auf dem Stapel liegt. In beiden Fällen wird dann $P k$ auf dem Stapel abgelegt und mit dem nächsten Punkt $P k + 1$ weitergerechnet. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel, in welchem alle Fälle des eben beschriebenen Tests auftreten.

Beispiel – Graham Scan Algorithmus

In nebenstehender Abbildung werden zunächst die Punkte Pt4, Pt3, Pt2 und $P k - 1$ auf den Stack gelegt. Zu jedem Zeitpunkt bilden die Punkte auf dem Stack ein konvexes Polygon (gestrichelte Linien). Erst als $P k$ hinzukommen soll, fliegen $P k - 1$ und Pt2 wieder raus, da sie zusammen mit $P k$ nicht konvex sind. Die konvexe Hülle dieser Punktmenge besteht aus $P 0$ , Pt4, Pt3 und $P k$ . $P 0$ liegt dabei auf dem Stack ganz unten und $P k$ ganz oben. Die Punkte des gesuchten konvexen Polygons können mit „pop“ im Uhrzeigersinn vom Stapel geholt werden.

[Bearbeiten] Anmerkung

Die Anzahl der „push“ und „pop“ Operationen übersteigt die obere Grenze von $2 N$ ( $N$ = Anzahl der Punkte in der Eingabemenge) nicht. Die Berechnung ist also $O (N)$ . Die Sortierung der Punkte nach Winkel kann mit jedem beliebigen Sortieralgorithmus durchgeführt werden, z. B. dem QuickSort. Dieser hat im Durchschnitt average case die asympt. Laufzeit von $O (N log N)$ . Das bedeutet, dass die Laufzeit des Algorithmus durch die Sortierung vorgegeben ist da $O (N) + O (N log N) = O (N log N)$ .

[Bearbeiten] Pseudocode

[Bearbeiten] Pseudocode (ohne Stack)

Im Code sei punkte ein Array aus Punkten, aus dem man mit punkte[i] das i-te Element erhält und welches schon nach dem Winkel zu punkte[0] sortiert ist. Der Code verändert dieses Array, indem die Elemente gelöscht werden, die nicht zur konvexen Hülle gehören.

i = 1
solange i < punkte.größe
        wenn punkte[i] rechts von vektor(punkte[i-1] -> punkte[i+1])
                i = i + 1
        sonst
                lösche Element i aus punkte
                i = i - 1