Diskussion:Grenzwert (Folge)

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Die von Benutzer:80.171.117.150 vorgenommene Änderung des Einleitungssatzes war mMn nach nicht erforderlich, da die alte Definition richtig war. So wie es vorher da stand, müssen zu jeder Umgebung 'ab einem bestimmten Index' alle Folgenglieder in der Umgebung liegen. Wenn es zu einer bestimmten Umgebung endlich viele gibt, die nicht darin liegen, dann findet man eben einen späteren Index, ab dem doch alle drin liegen. Der Index ist abhängig von der gewählten Umgebung. --Doodee 14:24, 4. Dez 2004 (CET)

Inhaltsverzeichnis

1 Inhaltsgleich mit Konvergenz (Mathematik)
2 Systematik
3 Bedingte Konvergenz
4 Divergenz
5 Komplizierter als es tatsächlich ist!
6 Gleichmäßige und absolute Konvergenz
7 Grenzwert vs Limes

[Bearbeiten] Inhaltsgleich mit Konvergenz (Mathematik)

Fast inhaltsgleich mit Limes (Mathematik) --qwqch 21:39, 8. Feb 2005 (CET)

Höchstens zusammenführen, mal drüber nachdenken. Deine Bilder halte ich übrigens für nicht hilfreich: konvergente und divergente Funktion sind keine stehenden Begriffe und die Bilder zeigen auch nichts, was großartig mit dem Artikel zu tun hat. Viele Gruesse --DaTroll 11:16, 9. Feb 2005 (CET)

"konvergente und divergente Funktion sind keine stehenden Begriffe und die Bilder zeigen auch nichts, was großartig mit dem Artikel zu tun hat." Ja wie? also kovergent und divergent bezogen auf Funktionen sind ja wohl absolut "stehende Begriffe", die werden sogar im Artikel selbst benutzt. Und der Artikel eißt ja wohl Konvergenz (Mathematik) , also was könnte mehr mit dem Artikel zu tun haben als konvergente und nicht konvergente Beispiele zu illustrieren? Weis echt nicht was du meinst. Gruß --qwqch 14:38, 10. Feb 2005 (CET)

Nein, die Begriffe stehen nicht im Artikel. Und ich habe sie in Deinen Abbildungen das allererste mal gelesen. Im Artikel stehen konvergente und divergente Folgen (auch funktionenfolgen), aber nicht konvergente und divergente Funktionen. Viele Gruesse --DaTroll 20:20, 10. Feb 2005 (CET)

Ja, ein Abgleich der beiden Artikel waere noetig. Was soll in "Konvergenz" beschrieben werden, was in "Limes"? Die beiden Begriffe sind ja sehr eng gekoppelt: Eine Folge konvergiert, wenn ein Limes existiert. Mit anderen Worten lautet meine Frage: Gibt es etwas ueber Grenzwerte zu berichten, das mit Konvergenz nichts zu tun hat, oder umgekehrt? Wenn nicht, dann sollten die Artikel zusammengefuehrt werden.

Die Bilder mit den Funktionen wuerden mit einer Erklaerung (wo konvergieren/divergieren die Fkt?) im Konvergenz-Artikel hilfreich sein. Fuer Konvergenz von Folgen braeuchte man andere Bilder. --SirJective 12:50, 10. Feb 2005 (CET)

Also ich halte es unbedingt für sinnvoll, zwei Artikel zu haben. Der längere wird wohl der hier, mit allem was einem so zur Konvergenz einfällt (schwach, absolut, wasauchimmer). Im Grenzwert-Artikel Grenzwerte von Folgen, dann kontinuierliche Grenzwerte und vor allem Geschichte, die man da IMHO viel besser plazieren kann. Viele Gruesse --DaTroll 10:01, 14. Feb 2005 (CET)

Ich wuerde Konvergenz ausschliesslich im Zusammenhang mit Folgen/Reihen verwenden, nicht mit Funktionen (damit meine ich lim f(x), nicht Funktionenfolgen lim f_n).--Gunther 00:14, 26. Feb 2005 (CET)

[Bearbeiten] Systematik

Nach rechts ist der Zielraum aufgetragen, nach unten der Argumentraum. In den Zellen stehen jeweils Stichworte, die mir zu den Kombinationen eingefallen sind.

	$\mathbb R$	metrischer Raum	topologischer Raum
$n\to\infty$	monoton und beschränkt	$\varepsilon,n_0$	Abzählbarkeitsprobleme
$x\to\infty$	Asymptoten	unwichtig
$x\to x_0$ in $\mathbb R$ oder metrischem Raum	$\varepsilon,\delta$ ; Folgendefinition		unwichtig
$x\to x_0$ in topologischem Raum	Stetigkeit (Topologie)

Mir scheint deshalb folgende Aufteilung sinnvoll:

Grenzwert (Folge) in (vollständigen) metrischen Räumen; weitgehend elementar
Konvergenz von Reihen wegen Kriterien separat
Grenzwert (Funktion) für die metrischen Räume inkl. $\infty$
Grenzwert (Topologie) für den allgemeinen Fall, auch Folgen und Netze

(Ich halte "Grenzwert" für den fundamentalen Begriff und nicht "Konvergenz"; und "Limes" finde ich übertrieben.) Ein Problem bei dieser Aufteilung wäre, wenn jemand schwache Konvergenz ohne die schwache Topologie erklären will, das müsste dann in einen separaten Artikel. Ansonsten Verbesserungsvorschläge? Habe ich etwas übersehen?-- Gunther 16:09, 7. Apr 2005 (CEST)

finde eine aufteilung sinnvoll, vor allem find ich es ungeschickt, im artikel zu "limes" den limes von funktionen VOR dem limes von folgen zu erklären, da der funktionen-limes auch über

den folgen-limes definiert bzw. angegeben werden kann als alternative zur epsilon-delta-regel.

ich wäre dafür, einmal allgemein zu erklären, was mit konvergenz gemeint ist. (anschaulich

mit dem "immer näher kommen", dann exakt durch norm und epsilon und so) dann verweise auf spezialgebiete, z.b. unendliche reihen. bei folgen ist doch sicher auch noch mal die konvergenz von folgen erklärt?

trotzdem sollte ein artikel mit dem namen "grenzwert" weiter existieren, da sicher häufig genau danach gesucht wird. möglicherweise redirekt auf "konvergent" dann?

Ich habe vor, in den nächsten Tagen den Artikel Konvergenz (Mathematik) auf Grenzwert (Folge) umzubenennen, den Artikel Limes (Mathematik) auf Grenzwert (Funktion) umzubenennen und dann die Inhalte entprechend umzustukturieren. Meinungen dazu bitte hier oder noch besser auf Portal_Diskussion:Mathematik#Konvergenz_.28Mathematik.29_und_Limes_.28Mathematik.29 --NeoUrfahraner 06:51, 21. Apr 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Urheber

Die aus Grenzwert (Funktion) verschobenen Texte stammen von

(in alphabetischer Reihenfolge) sowie von mehreren anonymen Autoren. --NeoUrfahraner 10:37, 26. Apr 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Überarbeiten

Ich habe jetzt den ersten Teil der Umstrukturierung abegschlossen, im Detail ist noch einiges zu glätten, daher der "Überarbeiten"-Hinweis. --NeoUrfahraner 11:04, 26. Apr 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Grenzwert als stetige Fortstetzung

Ich habe vorerst folgenden Satz entfernt:

Fasst man eine Folge (a_n) als Abbildung von N in die reellen Zahlen (oder einen anderen topologischen Raum) auf, und bezeichnet man den zusätzlichen Punkt in der Ein-Punkt-Kompaktifizierung Y von N mit ∞, so bedeutet die Aussage: „(a_n) konvergiert gegen a“, nichts anderes als: „a_n lässt sich durch a_∞ = a stetig auf Y fortsetzen“.

Der Satz ist meiner Meinung nach mehr verwirrend als erhellend. Behalten oder Streichen? --NeoUrfahraner 10:09, 29. Apr 2006 (CEST)

Das hatte ich wahrscheinlich mal als Reaktion auf eine Frage nach der präzisen Bedeutung des "Folgengliedes mit Index unendlich" im Einleitungssatz eingefügt.--Gunther 18:45, 2. Mai 2006 (CEST)

Wenn wir's behalten, gehört es meines Erachtens ein wenig ausführlicher und besser motiviert. Die Alexandroff-Kompaktifizierung findet sich übrigens bereits in Kompaktifizierung. --NeoUrfahraner 20:51, 2. Mai 2006 (CEST)

Ist mir egal, wie man das macht. Meinst Du, man sollte die ganzen Kompaktifizierungen in einen Artikel packen?--Gunther 20:56, 2. Mai 2006 (CEST)

Zu Kompaktifizierung: ich will nur darauf hinweisen, dass es bereits einen Artikel gibt, in dem die Alexandroff-Kompaktifizierun abgehandelt wird. Der Kompatifizierungs-Artikel ist derzeit eher kurz; eine Aufspaltung halte ich daher momentan nicht für sinnvoll. Wenn aber jemand mehr dazu zu sagen hat, spricht meiner Meinung nach nichts gegen eine Teilung. Evtl. könnte man jetzt schon redirects anlegen. --NeoUrfahraner 21:19, 2. Mai 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Bedingte Konvergenz

Könnte dann mal jemand darüber etwas sinnvolles sagen im Gegensatz zu absoluter Konvergenz. Oder was ist das für eine Konvergenz bei der alternierenden harmonischen Reihe? Diese Art der Konvergenz stellt doch wohl den Löwenanteil an Grenzwerten. Ansonsten verwirrt mich der falsche Hinweis auf Zenons gelöste Paradoxien. Man kann aus einem Kreis zwei machen. Da ist nichts zu lösen. Zu oben: Abzählbarkeitsproblem: Haben die etwas mit Wohlanordnung, Auswahlaxiom, Kontinuum zu tun? Dann geht es doch so oder auch anders. --Roomsixhu 23:27, 21. Sep 2005 (CEST)

1. Siehe absolute Konvergenz unter "Eigenschaften". 2. Zenon habe ich rausgeworfen. 3. In Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, impliziert Folgenkonvergenz nicht Konvergenz, d.h.: Ist

f

eine Funktion, so kann es sein, dass der Grenzwert $\lim_{x\to x_0}f(x)$ nicht existiert, aber für jede Folge $x_n\to x_0$ der Limes $\lim_{n\to\infty}f(x_n)$ existiert. (Standardbeispiel: Ist $\varepsilon_0$ die kleinste überabzählbare Ordinalzahl, dann ist $X=[0,\varepsilon_0]$ mit der Ordnungstopologie so ein Raum. Setze beispielsweise $f(x)=\begin{cases}1&x=\varepsilon_0\\0&\mathrm{sonst}\end{cases}$ und $x_0=\varepsilon_0$ .)--Gunther 23:48, 21. Sep 2005 (CEST)

Prompte Antwort! Das meinte ich (Unter Eigenschaften, das zweite). Hat das dann auch einen eigenen Namen? Zum Abzählbarkeitsaxiom

Ich habe auch schon mal so einen Gedankengang nachvollzogen, aber nicht in genau diesem Zusammenhang. Sich eines Grenzwertes zu versichern, las ich auch mal in anderem Zusammenhang. Schlage ich mal nach. Ansonsten ist Zahl doch auch ein philosphisches Problem.--Roomsixhu 00:18, 22. Sep 2005 (CEST)

Ähm, das hast Du doch schon in die Überschrift geschrieben: "bedingte Konvergenz".--Gunther 00:21, 22. Sep 2005 (CEST)

Verstehe ich nicht, wieso Du Zenon rausgeworfen hast? Als Anmerkung gehört das doch genau hierhin? --DaTroll 08:56, 22. Sep 2005 (CEST)

Nein, der Konvergenzbegriff hilft beim Verständnis der Paradoxa nicht. Dass Achilles der Schildkröte "beliebig nahe" kommt (also $\forall\varepsilon\exists n_0$ ) oder dass die betrachteten Zeitpunkte dem Zeitpunkt des Überholens beliebig nahe kommen, war Zenon vermutlich auch klar. Unendlich viele Weg- oder Zeitabschnitte können aber auch Mathematiker nicht addieren.--Gunther 09:52, 22. Sep 2005 (CEST)

Das glaube ich nicht. Dann könnte man ja die Zahlwerte, die bedingt konvergente Reihen darstellen nicht addieren. Aber gerade der Mathematiker addiert beliebige Zahlgrößen. Die Art ihrer Entstehung hindert den Mathematiker nicht damit umzugehen, zu addieren, denn das geht ja immer gleich.. Vielleicht weiß der Mathematiker auch gar nicht, was der Begriff Zahl ist.--Roomsixhu 10:12, 23. Sep 2005 (CEST)

Dass eine unendliche Reihe einen "Wert" hat, ist eine Grenzwertaussage, also eine Aussage über das Verhalten der Folge der endlichen Teilsummen. Mehr nicht.--Gunther 10:26, 23. Sep 2005 (CEST)

Gleichheit von Werten für Zahlgrößen zu zeigen ist nicht so trivial.

Weierstraß mußte für bedingt konvergente Reihen eine Vergleichsreihe einführen. Damit ging aber sein gesamter gegenständlicher Ansatz aufbauend auf dem Zählen verloren.
Mengenlehre hat keinen zählenden Ansatz sondern einen schon gerechneten der Relationen, und Zählen ist darin sehr schierig oder zweideutig.
Cauchy beweist die Grundrechenarten jeweils für Werte und Zahlgrößen gesondert.

Unbestimmte Zahlen oder Zahlgrößen kann man sich auf zwei Arten bilden: "Das Zählen, und damit der Zahlbegriff, beruht darauf, daß sich der menschliche Geist Vorstellungen von Dingen bilden kann und daß er solche Vorstellungen wiederholt zu reproduzieren vermag. Es sind also zweierlei geistige Operationen möglich:

Die Reproduktion einer Vorstellung eines Dinges,
aus einem gegebenen Aggregat von Dingen die Vorstellung verschiedener, die unter denselben Begriff fallen, aufnehmen."

"Der Wert einer Zahlgröße ist deren nicht näher erklärte Bedeutung. Das mathematische Problem ist festzustellen, wann zwei solche Werte gleich sind." (D.Spalt). Ich verstehe das so, sind a und b zwei bedingt konvergente Reihen mit gleichem Grenzwert, wie zeigt man das?--Roomsixhu 22:09, 2. Okt 2005 (CEST)

Dürfen Mathematiker heutzutage noch guten Gewissens zählen, falls sie wissen, was das ist, oder können sie nur rechnen? ;-) --Roomsixhu 16:22, 24. Sep 2005 (CEST)

OK, das ist natuerlich ein Punkt, allerdings war das die Keimzelle des Geschichtsabschnitts :-) Ich habe Zenon durch Cauchy ersetzt. --DaTroll 10:14, 22. Sep 2005 (CEST)

Natürlich habe ich das in die Überschrift geschrieben, aber warum steht es in der ganzen Wikipedia nicht? Da war ich etwas verunsichert. Und da ich es nicht richtig erklären kann, bleibt mir die Frage: Sind bedingt konvergente Reihen irgendwie gechlossen handhabbar oder darstellbar und gibt es dort auch Kriterien? Majoranten- und Minoranenkriterium oder sowas. Oder ist das schon alles Topologie?--Roomsixhu 09:28, 22. Sep 2005 (CEST)

Mir ist nur das Leibnizkriterium bekannt (und natürlich die Kriterien, die absolute Konvergenz implizieren wie Quotienten- oder Wurzelkriterium).--Gunther 10:26, 22. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Divergenz

zur zeit ist Divergenz etwas unterrepräsentiert, insbesondere die von Funktionen: Divergenz: "die Nichtexistenz eines Grenzwertes einer Folge, siehe Konvergenz (Mathematik)" - das ist alles.., selbst in Limes (Mathematik)#Limes einer reellen Funktion steht nichts.

$\lim_{x\to\infty}f(x) = \infty$ .. divergent
mit g(x) divergent
- g(x) eine Gerade k≠0 .. schräge Asymptote
- g(x) keine Gerade: erweiterter Asymptotenbegriff

z.b. $\lim_{x\to\infty}(x^2-{1\over x}) = x^2$

es gibt keine mögliche Gerade: heißt das nicht "hyperlinear divergent"???
es gibt keine mögliche rationale Funktion: "hypergeometrisch divergent"???

z.b. $\exist x: e^x > x^n \forall n \Leftrightarrow \lim_{x\to\infty}(e^x - x^n) = \infty$

--W!B: 20:00, 15. Okt 2005 (CEST)

Mit Ausnahme der bestimmten Divergenz sind das halt Konvergenz- und nicht Divergenzaussagen. Wie oben angemerkt, scheint mir die derzeitige Aufteilung der Thematik ohnehin unglücklich; für Kommentare bin ich immer noch dankbar.--Gunther 20:42, 15. Okt 2005 (CEST)

Vieleicht wäre es Sinnvoll einen Artikel Divergenz (Folgen und Reihen) anzulegen? Da der Aspekt weder hier bei Konvergenz noch bei Divergenz (Mathematik) richtig auftaucht. Bostich 20:30, 25. Okt 2005 (CEST)

Oh, habe eben im Artikel rumgepfuscht, ohne zu sehen, dass das hier schon diskutiert wird. Wollte mich eigentlich nicht weiter einmischen, da eher unentschlossen und nicht gerade ausgesprochen kompetent. --Wolfgangbeyer 21:44, 25. Okt 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Komplizierter als es tatsächlich ist!

Ich glaube der Autor hat das Prinzip des Verfassens von mathematischen Veröffentlichungen nicht verstanden, zu mindest was Wikipedia betrifft. Man sollte komplexe Dinge so leicht erklären wie es nur möglich ist, das ist hier definitiv nicht der Fall! Der Autor muss bedenken, dass auch schon Schüler das Thema "Konvergenz/Divergenz von Folgen" in der Schule behandeln, welche bei dieser Erklärung kläglch verzweifeln würden. Tip: Versuche deine Erklärung etwas verständlicher für die allgemeine User-Gemeinde zu schreiben!

[Bearbeiten] Gleichmäßige und absolute Konvergenz

Die Artikel Gleichmäßige Konvergenz und Absolute Konvergenz beschäftigen sich tiefergehend mit Aspekten von Konvergenz, sind aber noch nicht in diesen Artikel eingearbeitet. --Abdull 18:15, 28. Jun 2006 (CEST)

Das sind Artikel über Konvergenz spezieller Folgen, nämlich Funktionenfolgen bzw. Reihen. Nicht jeder Spezialfall muss hier verlinkt werden.--Gunther 18:17, 28. Jun 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Grenzwert vs Limes

Das Thema lautet Grenzwert(Folge). Warum identifiziert man hier nur Grenzwert mit Limes. In einem gewissen Sinne hat eine Folge , die ein Maximum hat und nicht konvergiert, einen Grenzwert.Ich denke an Schranken...

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