Hellmann-Feynman-Theorem

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Das Hellmann-Feynman Theorem ist ein Theorem in der Quantenmechanik, welches die Energieeigenwerte eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators mit den Parametern, die er enthält, in Bezug setzt. Im Allgemeinen besagt das Theorem:

$\frac{\partial {E_n}}{\partial {\lambda}}=\int{\psi_n^*\frac{\partial{\hat{H}}}{\partial{\lambda}}\psi_nd\tau}$

$\hat{H}$ ist der parametrisierte Hamiltonoperator,

$E n$ ist der n'te Eigenwert des Hamiltonoperators,

$ψ n$ ist der n'te Eigenvektor des Hamiltonoperators,

$λ$ ist der Parameter, der interessiert

und $d τ$ bedeutet eine komplette Integration über den gesamten Definitionsbereich der Eigenvektoren.

[Bearbeiten] Der Beweis

Der Beweis ist eigentlich recht einfach. In der Dirac'schen Bra-Ket-Notation, können wir schreiben

$\frac{\partial E}{\partial\lambda}$	$= \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi\|\hat{H}\|\psi\rangle$
	$= \langle\frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\|\hat{H}\|\psi\rangle + \langle\psi\|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\|\psi\rangle + \langle\psi\|\hat{H}\|\frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\rangle$
	$= E \langle\frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\|\psi\rangle + \langle\psi\|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\|\psi\rangle + E \langle\psi\|\frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\rangle$
	$= E \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi\|\psi\rangle + \langle\psi\|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\|\psi\rangle$
	$= \langle\psi\|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\|\psi\rangle.$

[Bearbeiten] Siehe auch

Von „http://de.wikipedia.org../../../h/e/l/Hellmann-Feynman-Theorem_355d.html“

Kategorie: Quantenmechanik

$\frac{\partial E}{\partial\lambda}$	$= \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi\|\hat{H}\|\psi\rangle$
	$= \langle\frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\|\hat{H}\|\psi\rangle + \langle\psi\|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\|\psi\rangle + \langle\psi\|\hat{H}\|\frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\rangle$
	$= E \langle\frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\|\psi\rangle + \langle\psi\|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\|\psi\rangle + E \langle\psi\|\frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\rangle$
	$= E \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi\|\psi\rangle + \langle\psi\|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\|\psi\rangle$
	$= \langle\psi\|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\|\psi\rangle.$

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[Bearbeiten] Der Beweis

[Bearbeiten] Siehe auch

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