Quantenmechanik

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie, die das Verhalten der Materie im atomaren und subatomaren Bereich beschreibt. Sie ist eine der Hauptsäulen der modernen Physik und bildet die Grundlage für viele ihrer Teilgebiete, so z. B. für die Atomphysik, die Festkörperphysik und die Kern- und Elementarteilchenphysik aber auch für verwandte Wissenschaften wie die Quantenchemie.

Begründer der Quantenmechanik waren Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger, weitere wichtige Beiträge wurden unter anderem von Max Born, Pascual Jordan, Wolfgang Pauli, Niels Bohr, Paul Dirac und John von Neumann geleistet. Die wesentlichen Konzepte der Quantenmechanik wurden in den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts erarbeitet.

Visualisierung der Wahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens in einem 1/r Potential entsprechend z. B. des Elektrons im elektrostatischen Potential des Wasserstoff-Atom: Die Hauptquantenzahl n läuft von oben nach unten (1,2,3), die Drehimpulsquantenzahl l von links nach rechts (s,p,d).

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung
2 Grundlegende Eigenschaften der Quantenmechanik
3 Weiterführende Aspekte der Quantenmechanik
4 Anwendungen
5 Mathematische Formulierung
6 Geschichte
- 6.1 Wichtige Personen zur Entwicklung der Theorie
- 6.2 Richtungsweisende Experimente
7 Zusammenhänge mit anderen physikalischen Theorien
8 Interpretationen und philosophische Aspekte der Quantenmechanik
- 8.1 Interpretation
- 8.2 Philosophische Fragen
9 Einige Zitate
10 Siehe auch
11 Videos
12 Literatur
13 Weblinks

Einführung

Anfang des 20. Jahrhunderts war bekannt, dass sich Licht unter gewissen Umständen wie Teilchen verhält. Louis de Broglie schlug 1924 umgekehrt vor, Elektronen und anderen massebehafteten Teilchen Wellencharakter zuzuschreiben, was einer vollkommenen Symmetrie zwischen Strahlung und Materie, man spricht von einem Welle-Teilchen-Dualismus, entsprechen würde. Diese Hypothese wurde recht schnell bestätigt (z.B. 1926 durch Clinton Joseph Davisson und Lester Halbert Germer anhand der Beugung von Elektronen^[1]). Auf de Broglies Hypothese aufbauend entwickelte Erwin Schrödinger im Jahr 1926 eine eigentliche Quantenmechanik. Jedes Teilchen wird dabei durch eine Wellenfunktion beschrieben und die Schrödingergleichung bestimmt, wie sich die Wellenfunktion räumlich und zeitlich entwickelt. Die Wellenfunktion (genauer: ihr Betragsquadrat) wird gemäß der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation als Wahrscheinlichkeitsverteilung gedeutet. Demnach kreisen die Elektronen nicht auf wohldefinierten Bahnen um den Atomkern herum (siehe Bohrsches Atommodell), sondern umgeben diesen in einer Art Wahrscheinlichkeitswolke. Als Inbegriff dieses Wahrscheinlichkeitskonzeptes, ja der Quantenmechanik überhaupt, gilt die von Werner Heisenberg entdeckte Unschärferelation. Heisenbergs Unschärferelation besagt, dass sich bestimmte Zustandsparameter eines Quantensystems nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmen lassen. Es bleibt eine fundamentale Restunbestimmtheit, die prinzipiell nicht unterlaufen werden kann. Für die Zustandsgrössen eines Quantensystems können im Allgemeinen nur wahrscheinliche Werte angegeben werden. Die Wahrscheinlichkeitsnatur der Quantenmechanik hat nichts mit Messfehlern oder ungenauen Apparaturen zu tun, sondern sie ist integraler Bestandteil der Theorie. In der Quantenmechanik befindet sich ein unbeobachtetes Quantensystem in einem unbestimmten Zustand. Jeder Zustand ist im Prinzip, mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit, möglich. Erst durch die Beobachtung bzw. durch den Messvorgang wird das System in einem der möglichen Zustände verwirklicht. Gemäß Heisenberg kann eine gültige Quantenmechanik nur unter Einbezug des „Aktes der Beobachtung“ formuliert werden. Ohne Beobachtung lassen sich keinerlei Aussagen über ein quantenmechanisches System machen.

Grundlegende Eigenschaften der Quantenmechanik

Observable und Zustände

Im Rahmen der klassischen Mechanik ist der Zustand eines Teilchens durch die Messung seiner Position und seiner Geschwindigkeit vollständig festgelegt. Bei mikroskopischen Systemen ist dieser Rückschluss aus einzelnen Messergebnissen auf den Zustand des Systems offenbar unvollständig, da jedes Messergebnis nur ein zufälliger Repräsentant einer Vielzahl möglicher Ergebnisse ist. Für eine vollständige Beschreibung des Zustandes muss demnach die gesamte Verteilung möglicher Messergebnisse berücksichtigt werden.

Die messbaren Eigenschaften eines quantenmechanischen Systems werden durch Messgrößen (im Sprachgebrauch der Quantenmechanik allgemein als „Observable“ bezeichnet) beschrieben. Beispiele für solche Observable sind z. B. der Ort eines Teilchens, sein Impuls oder sein Drehimpuls. Hierbei ist zu beachten, dass die Observable nicht ein mögliches Messergebnis beschreibt, sondern das Konzept als solches. Die Observable „Ort“ sagt also nicht, wo das Teilchen gerade ist (eine solche Angabe ist, wie das Doppelspaltexperiment zeigt, in der Regel gar nicht möglich), sondern beschreibt abstrakt die Eigenschaft des Teilchens, an verschiedenen Orten gefunden werden zu können. Die theoretisch möglichen Messergebnisse einer solchen Observablen werden als Eigenwerte dieser Observablen bezeichnet.

Welche Werte aber tatsächlich gefunden werden können, hängt natürlich vom jeweiligen System ab. So kann man praktisch ausschließen, dass ein Objekt, das man gerade auf der Erde gefunden hat, in der nächsten Sekunde auf dem Mond gefunden wird. Diese Information wird durch den Zustand des Objekts beschrieben. Der Zustand des Objekts erlaubt es, für jeden möglichen Wert jeder Observablen zu sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man ihn messen wird.

Während Messwerte von Observablen in der Regel nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden können, gibt es für jede Observable bestimmte Zustände, bei denen man mit Sicherheit vorhersagen kann, welchen Wert der Observablen man messen wird, wenn sich das System in diesem Zustand befindet. Diese Zustände nennt man Eigenzustände der Observablen. Hierbei ist zu beachten, dass verschiedene Observablen in der Regel unterschiedliche Eigenzustände haben. Ein System, das sich in einem Eigenzustand der einen Observablen befindet, das also erlaubt, den zugehörigen Messwert mit Sicherheit vorherzusagen, befindet sich dann nicht in einem Eigenzustand der anderen Observablen, es ist also prinzipiell nicht möglich, mit Sicherheit vorherzusagen, welchen Wert man bei einer Messung dieser anderen Observablen erhalten wird. Ein Beispiel hierfür sind Ort und Impuls: Bei bekanntem Ort eines Teilchens (Ortseigenzustand) ist sein Impuls völlig unbestimmt, und umgekehrt. Solche Paare von Observablen, bei denen die Kenntnis des Wertes der einen eine totale Unkenntnis des Wertes der anderen Observablen impliziert, nennt man zueinander komplementär.

Es zeigt sich, dass man alle möglichen Zustände eines Systems beschreiben kann, indem man den Eigenzuständen einer Observablen dieses Systems komplexe Zahlen zuordnet, wobei das Quadrat des Betrags dieser Zahl gerade die Wahrscheinlichkeit angibt, dass bei einer Messung der Observablen der zu diesem Zustand gehörige Eigenwert gemessen wird. Aufgrund letzterer Eigenschaft nennt man diese komplexen Zahlen auch Wahrscheinlichkeitsamplituden. Nimmt man als Observable den Ort, so erhält man auf diese Weise eine Beschreibung des Zustands als komplexe Funktion des Ortes. Da die Zeitentwicklung dieser Funktion einer Wellengleichung, der Schrödingergleichung, gehorcht, nennt man sie auch Wellenfunktion.

Führt man eine ideale Messung einer Observablen durch, so wird das System nach der Messung durch genau den zum gemessenen Wert gehörigen Eigenzustand dieser Observablen beschrieben, eine unmittelbar danach erfolgende erneute Messung derselben Observablen wird daher mit Sicherheit denselben Wert liefern. Dies ist selbst dann der Fall, wenn das System sich vorher nicht in diesem Eigenzustand befand. Diese Änderung des Zustands nennt man auch Kollaps der Wellenfunktion.

Für die mathematische Beschreibung einer Observablen sind vor allem die folgenden Eigenschaften einer Messung wesentlich:

Die Messung ergibt in jedem Fall einen Wert. Das heißt insbesondere, dass für jeden Zustand bei einer Messung mindestens ein Eigenwert der Observablen eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben muss.
Das Ergebnis der Messung ist stets eine reelle Zahl (da in der Zustandsbeschreibung komplexe Zahlen verwendet werden, ist dies mathematisch keine Selbstvertändlichkeit).

Diese Bedingungen werden mathematisch durch selbstadjungierte Operatoren erfüllt. Dementsprechend werden Observablen in der Quantenmechanik mathematisch durch solche Operatoren beschrieben.

Welle-Teilchen-Dualismus

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts ging man davon aus, dass sich die Bestandteile von Materie, d.h. Atome, Elektronen, Atomkerne etc., als Teilchen beschreiben lassen, welche man sich als kleine elastische Kügelchen vorstellte. Tatsächlich lassen sich manche Experimente wie z.B. der Rutherfordsche Streuversuch gut im Rahmen des Teilchenmodells erklären. Andere Experimente wie das im Folgenden beschriebene Doppelspaltexperiment beweisen jedoch, dass mikroskopische Objekte unter bestimmten Bedingungen keine Teilcheneigenschaften zeigen, sondern nur unter der Annahme von Welleneigenschaften adäquat beschrieben werden können.

Schematische Darstellung des Doppelspalt-Experiments mit dem erwarteten Ausgang nach klassischer und nach quantenmechanischer Vorhersage

Bei dem Doppelspaltexperiment werden mikroskopische „Teilchen“ auf ein Hindernis mit zwei eng beieinander liegenden Spalten gesendet. Das im folgenden beschriebene Experiment bezieht sich konkret auf Elektronen, für andere Objekte wie z.B. Atome, Neutronen, Photonen, oder auch komplexe Moleküle wie die Buckyballs erhält man jedoch die gleichen Ergebnisse. Unter Annahme des klassischen Teilchenmodells würde man hinter den Spalten zwei klar voneinander abgetrennte „Peaks“ (Häufungen) in der Verteilung der nachgewiesenen Elektronen erwarten, wie sie schematisch im oberen Teilbild der nebenstehenden Abbildung dargestellt sind.

Die tatsächlich beobachteten Messergebnisse stimmen insofern mit dem Teilchenmodell überein, als jedes Elektron auf dem Schirm zu einem einzelnen Leuchtpunkt führt (siehe Abb. rechts) ^[2]. Die Verteilung der Elektronen auf dem Schirm weist jedoch ausgeprägte Interferenzmuster auf, die mit einem Teilchenmodell der Elektronen unverträglich sind. Unter der Annahme einer Welleneigenschaft der Elektronen lässt sich das Interferenzmuster hingegen zwanglos erklären.

Das Phänomen, dass mikroskopische Objekte je nach experimentellem Kontext Eigenschaften zeigen, die im Rahmen der Alltagserfahrung als unverträglich („komplementär“) gelten, wird (nach Niels Bohr, der es als erster formulierte) als Bohrsches Komplementaritätsprinzip bezeichnet.

Interferenzmuster von Elektronen nach Beugung am Doppelspalt

Die Unschärferelation

Hauptartikel: Heisenbergsche Unschärferelation

Wie oben dargelegt, sind Ort und Impuls zueinander konjugierte Observable, so dass die Kenntnis (bzw. sichere Vorhersagbarkeit) des gemessenen Ortes eine völlige Unvorhersagbarkeit des Impulses bedeutet, und umgekehrt. Da der Impuls auch die Geschwindigkeit bestimmt, bedeutet dies insbesondere, dass in der Quantenmechanik keine Teilchenbahnen mehr definiert werden können. Dies steht auf den ersten Blick im Widerspruch zu Beobachtungen von Teilchenbahnen z. B. in einer Nebelkammer. Dieser scheinbare Widerspruch führte Heisenberg zur so genannten heisenbergschen Unschärferelation.

Die Lösung des Widerspruchs besteht darin, dass der Ort in der Nebelkammer gar nicht vollständig bestimmt wird. Man kann zwar sagen, dass sich das Teilchen irgendwo in der beobachteten Nebelspur befunden haben muss, aber die Nebelspur ist ziemlich breit. Heisenberg fand heraus, dass immer dann, wenn der Ort nicht exakt, sondern nur „unscharf“ bestimmt wird, der Impuls ebenfalls auf einen kleinen „unscharfen“ Bereich eingeschränkt werden kann. Allerdings kann diese Unschärfe nicht beliebig klein gemacht werden: Für das Produkt der Ortsunschärfe $Δ x$ und der Implusunschärfe $Δ p$ gilt

$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist. Insbesondere wird die minimale Impulsunschärfe um so größer, je genauer der Ort gemessen wird, und umgekehrt.

Ein Beispiel, an dem dieser Zusammenhang sehr schön sichtbar wird, ist die Beugung von Elektronen am Einzelspalt. Für Elektronen, die den Spalt durchqueren, ist der Ort während der Durchquerung grob bekannt: Das Elektron ist durch den Spalt gelaufen. Wo das Elektron durch den Spalt gelaufen ist, kann aber nicht festgestellt werden, somit ist der Ort nur bis auf die Breite des Spaltes bestimmt. Diese Unbestimmtheit des Ortes resultiert in einer entsprechenden Unbestimmtheit der zugehörigen Impulskomponente, also quer zum Spalt. Diese Impulskomponente führt dazu, dass die Elektronen nicht nur direkt hinter dem Spalt auf einen weiter hinten aufgestellten Schirm auftreffen, sondern auch ein wenig seitlich davon. Wenn viele Elektronen durch den Spalt geschickt werden, ergibt sich auf dem Schirm also ein Fleck, der breiter ist als der Spalt. Je enger der Spalt ist, desto schärfer ist der Ort bestimmt, und desto stärker wird das Bild des Spaltes verbreitert.

Dieses Phänomen der Beugung ist aus der Wellenoptik bekannt und kann daher im Wellenbild leicht erklärt werden. Der Impuls des Elektrons entspricht einer bestimmten Wellenlänge der zugehörigen Welle. Eine Welle mit exakt definierter Wellenlänge ist aber unendlich ausgedehnt. Räumliche Lokalisierung kann man nur durch so genannte Wellenpakete erreichen, die aus Wellen unterschiedlicher Wellenlängen zusammengesetzt sind. Dabei ist der Wellenlängenbereich, den man benötigt, um so größer, je kleiner die Ortsausdehnung des Wellenpakets ist. Da die Amplitude der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit angibt, das Elektron an diesem Ort zu finden, ist es aus dem Wellenbild klar, dass die Unbestimmtheit des Impulses um so größer wird, je genauer der Ort des Elektrons bestimmt ist. In der Tat übersetzt sich die Unschärferelation von Ort und Impuls direkt in die entsprechende Unschärferelation von klassischen Wellen.

Eine Unschärferelation gilt jedoch nicht nur für Ort und Impuls, sondern lässt sich für alle Paare nicht gleichzeitig messbarer Observablen herleiten. Andere Beispiele sind Drehimpuls und Winkel, oder Phase und Photonenzahl des Lichts. Es gibt jedoch auch Observable, die gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können. Beispiele hierfür sind Ortskoordinanten in verschiedenen Richtungen, oder auch das Betragsquadrat des Drehimpulses und eine einzelne Komponente desselben.

Eine Sonderrolle spielt die Unschärfe von Energie und Zeit. Sie folgt im Wellenbild aus der entsprechenden Unschärfe von Frequenz und Zeit, ist jedoch in der Quantenmechanik von anderer Natur als die vorher erwähnten Unschärferelationen. Dies liegt daran, dass im Formalismus der Quantenmechanik die Zeit, anders als der Ort, keine Observable, sondern nur ein Parameter ist. Man misst also im Formalismus der Quantenmechanik nicht die Zeit, sondern nur Observablen zu einer bestimmten Zeit. Dementsprechend gibt es auch keine „Zeitunschärfe“, sondern die Zeit-Energie-Unschärferelation besagt, wie lange man mindestens benötigt, um die Energie in einer bestimmten Genauigkeit zu messen. Dies bedeutet insbesondere, dass die Energieniveaus instabiler Zustände, etwa der angeregten Zustände von Atomen, aufgrund der endlichen Lebensdauer stets eine gewisse Breite aufweisen, die sich in der so genannten natürlichen Linienbreite des bei den Übergängen emittierten Lichts äußert: Da die Energie des Ausgangszustandes (und eventuell auch die des Endzustandes) nicht scharf bestimmt ist, ist auch die auf das Photon übertragene Übergangsenergie und damit die Frequenz des ausgesandten Lichts unscharf.

Statistischer Messprozess

Ein wesentliches Unterscheidungsmerkmal der Quantenmechanik im Hinblick auf die klassische Mechanik ist die Einbeziehung des Messprozesses in die Theorie. So ist in der klassischen Mechanik die Entwicklung eines gegebenen physikalischen Systems durch Kenntnis der Variablen wie Ort und Impuls der auftretenden Teilchen eindeutig vorhersagbar. Hierbei wird angenommen, dass sich diese Messgrößen – zumindest im Prinzip – gleichzeitig beliebig genau bestimmen lassen. In der Quantenmechanik verursacht der Messprozess dagegen eine Störung des Systems.

Die Beschreibung des Messprozesses ist eng verknüpft mit dem Begriff des Determinismus. So ist die Zeitentwicklung eines unbeobachteten quantenmechanischen Systems zwar völlig deterministisch, der Messprozess ist dagegen aber völlig zufällig. Zur Beschreibung der Messung einer Observablen, wird der Zustand des Systems in eine Linearkombination von Eigenzuständen der Observablen zerlegt. Der Messprozess kann nun als Projektion auf einen dieser Eigenzustände angesehen werden. Der Messwert entspricht dann dem zu diesem Zustand gehörigen Eigenwert. Wenn man einen Messprozess mit einer unendlichen Menge von Kopien eines Systems wiederholt, so erhält man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Messwerten, wobei die Wahrscheinlichkeiten den Quadraten der Koeffizienten der entsprechenden Eigenzustände entsprechen.

Aus dieser Beschreibung des Messprozesses folgt sofort, dass die Reihenfolge der Messung zweier physikalischer Größen A und B einen Einfluss auf das Messergebnis haben kann, nämlich genau dann, wenn die Observablen nicht kommutieren, das heißt $\mathbf{AB}\neq\mathbf{BA}$ .

Der Messprozess soll hier exemplarisch am Beispiel eines Teilchens mit Spin 1 verdeutlicht werden. Der Spin ist eine Eigenschaft von Teilchen, wie z. B. seine Masse. Spin 1 bedeutet, dass es für die z-Komponente des Spin drei Einstellungen gibt, die meist –1, 0 und 1 genannt werden.

Zur Veranschaulichung, wird im folgenden ein Experiment beschrieben: Eine Teilchenquelle für Spin 1-Teilchen wird so eingestellt, dass alle ausgesandten Teilchen den gleichen Spinzustand haben. Dieser Zustand werde mit $| s \rangle$ bezeichnet. Die Teilchen fliegen durch ein inhomogenes Magnetfeld (siehe Stern-Gerlach-Versuch), das bewirkt, dass sich Teilchen mit verschiedenen Spin (-1, 0 oder 1) trennen und fallen anschließend auf einen Detektor, der den Spinzustand misst. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass ein Teilchen die Quelle verlässt und mit Spin –1, 0 bzw. 1 gemessen wird ist

$\langle -1|s\rangle$ , $\langle 0|s\rangle$ bzw. $\langle 1|s\rangle$ .

Obwohl alle Teilchen den gleichen Anfangszustand hatten, misst man erstaunlicherweise sämtliche Spineinstellungen, und zwar Spin –1, 0 und 1 mit der Wahrscheinlichkeit

In einer Erweiterung des Experiments werden alle Teilchen mit Spin –1 und 0 hinter dem Magnetfeld geblockt, d.h. alle verbleibenden Teilchen haben wieder den gleichen Zustand. Diese werden nun durch ein weiteres inhomogenes Magnetfeld (identisch zum ersten) geleitet. Misst man anschließend den Spinzustand sind alle Teilchen weiterhin in Zustand 1.

Folgerungen aus dem Experiment:
Man misst nur drei Zustände. Diese Zustände nennt man Eigenzustände des Spins. Die Teilchen werden durch die Messung (die Stern-Gerlach-Apparatur stellt eine Art Messapparatur dar) in den Eigenzustand gebracht. Ein Teilchen, dass schon in einem Eigenzustand ist, bleibt bei einer weiteren Messung in diesem Zustand.

Ist ein Teichen in einem wohldefinierten Zustand, der kein Eigenzustand ist, misst man zufällig einen der Eigenzustände. Der Anfangszustand lässt sich dann wie folgt darstellen

Auch das ist ein allgemeines Prinzip: Ein quantenmechanischer Zustand lässt sich immer aus einer Linearkombination aller Eigenzustände darstellen. Würde man also ein Spin-2 Teilchen betrachten, so erhielte man

Deterministische Zeitentwicklung

Hauptartikel: Schrödingergleichung

Um ein quantenmechanisches System zu beschreiben, reicht es nicht, sein Verhalten bei Messungen zu betrachten. Es muss auch beschrieben werden, wie sich das System entwickelt, solange man nicht misst. Dies leistet die Schrödingergleichung: Mit ihr lässt sich berechnen, wie sich der Zustand eines unbeobachteten quantenmechanischen Systems entwickelt. Anders als bei der Beobachtung ist die Zeitentwicklung des quantenmechanischen Zustands vollständig deterministisch. Hierin drückt sich die Kausalität der Quantenmechanik aus: Zwar lassen sich die Ergebnisse der meisten Messungen nicht sicher vorhersagen, aber der Zustand, der die Wahrscheinlichkeiten bei der Messung bestimmt, entwickelt sich absolut vorhersagbar. Insbesondere haben definierte Eingriffe auch einen klar vorhersagbaren Einfluss auf den Zustand.

Gewisse Eigenschaften dieser Zeitentwicklung lassen sich bereits aus der Wahrscheinlichkeitsinterpretation und dem Superpositionsprinzip herleiten: Das Superpositionsprinzip verlangt, dass die Linearkombination zweier möglicher Zustände wiederum einen möglichen Zustand beschreibt. Diese Linearkombination muss auch bei der Zeitentwicklung erhalten bleiben. Gleichungen, die diese Bedingung erfüllen, nennt man linear.

Die Wahrscheinlichkeit, das System bei einer Messung in einem bestimmten Zustand zu finden, wird, wie beschrieben, durch das Betragsquadrat der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsamplitude festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, das System in irgendeinem Zustand zu finden ist selbstverständlich zu jeder Zeit gleich eins; diese Wahrscheinlichkeit wird gemäß den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zustände bestimmt, also durch die Summe der Betragsquadrate der Wahrscheinlichkeitsamplituden. Das bedeutet, dass diese Summe sich bei der Zeitentwicklung nicht ändern darf (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit). Lineare Zeitentwicklungen, die diese Bedingung erfüllen, nennt man unitär.

Man kann zeigen, dass eine solche unitäre Zeitentwicklung unter recht allgemeinen Bedingungen durch eine Gleichung der Form

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right\rangle = \hat H(t)\left|\psi\right\rangle$

beschrieben werden kann. $\hat H(t)$ nennt man Hamilton-Operator, im allgemeinen Fall ist er zeitabhängig. Vor allem erfüllt er aber gerade die Bedingungen, die im Formalismus der Quantenmechanik für die Beschreibung von Observablen gefordert werden. Die zugehörige Observable ist die Gesamtenergie des quantenmechanischen Systems.

Die physikalischen Eigenschaften des jeweiligen spezifischen Systems werden vollständig durch den Hamilton-Operator beschrieben. Der wichtigste Schritt für die quantenmechanische Beschreibung eines Systems ist daher, den Hamilton-Operator zu bestimmen. Für diese Aufgabe ist das Bohrsche Korrespondenzprinzip eine Hilfe: Für „große“ Systeme muss die Quantenmechanik in die klassische Mechanik übergehen.

Da in der klassischen Physik die Bewegung von Teilchen durch Ort und Impuls beschrieben werden, ist die so genannte Ortsdarstellung des Zustands für dieses Vorhaben besonders vorteilhaft. In dieser wird jedem Ort eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zugeordnet, so dass der Zustand durch eine Welle im Raum beschrieben wird, die so genannte Wellenfunktion

$\psi(\vec x,t)=\langle\vec x|\psi(t)\rangle$ .

In der Optik ist bekannt, dass für hinreichend kurze Wellenlängen das Licht näherungsweise durch Lichtstrahlen beschrieben werden kann, wobei typische Welleneigenschaften wie Beugung und Interferenz in dieser Näherung nicht berücksichtigt werden. Da auch die klassische Mechanik von Teilchen keine Welleneigenschaften besitzt, ist es einsichtig, dass die klassische Mechanik als Grenzfall kurzer Wellen aus der Quantenmechanik hervorgehen sollte. Es zeigt sich, dass man für ein nichtrelativistisches Teilchen einen solchen Hamilton-Operator gewinnt, indem man in der klassischen Hamilton-Funktion den Impuls durch den Impulsoperator

$\hat \vec p = -\mathrm{i}\hbar \vec\nabla$

ersetzt, wobei der Nabla-Operator $\vec\nabla$ die Ableitungen der Wellenfunktion nach den einzelnen Raumrichtungen beschreibt. Der Impulsoperator ergibt also letztlich, wie sich die Wellenfunktion im Raum ändert. Da die Hamilton-Funktion eines klassischen, nichtrelativistischen Teilchens die Form

$H(\vec p,\vec x) = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec x)$

hat, ergibt sich auf diese Weise die so genannte Schrödingergleichung:

$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\vec\nabla^2 + V(\vec x)\right)\psi(x,t)$ .

Es sei darauf hingewiesen, dass die Herleitung der Schrödingergleichung keine Herleitung im mathematischen Sinn ist: Generell gibt es mehrere Hamilton-Operatoren, die denselben klassischen Grenzfall ergeben. Die Schrödingergleichung ist jedoch durch Experimente gut gesichert.

Ein Beispiel: Das Wasserstoffatom

Hauptartikel: Wasserstoffatom

Wasserstoff s-Orbital zu den Quantenzahlen n=2, l=0 (s), m=0. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird durch 10000 Punkte dargestellt, wobei jeder Punkt eine Messung des Ortes simuliert.

Wasserstoff p-Orbital zu den Quantenzahlen n=2, l=1 (p), m=0. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird durch 10000 Punkte dargestellt, wobei jeder Punkt eine Messung des Ortes simuliert.

Ein herausragendes Anwendungsbeispiel der Quantenmechanik stellt das Wasserstoffatom dar. Die vollständige analytische Lösung des Wasserstoffproblems führte zu einem neuen Atommodell und in seiner Folge zu einer neuen Theorie der chemischen Bindung mit weitreichenden Konsequenzen in der Molekül- und Festkörperphysik.

Das Wasserstoffatom wird durch einen Hamiltonoperator für ein Elektron im Zentralpotenzial des Wasserstoffkerns beschrieben

$\hat H=\frac{1}{2m}\hat{\vec{p}}^2+V(\hat{r})$

wobei m die Elektronenmasse darstellt, $\hat{\vec{p}}$ den Impulsoperator und $V(\hat{r})$ das Zentralpotenzial, wobei hier $\hat{r} = |\hat{\vec{x}}|$ den Betrag des Ortsoperators darstellt.

Aufgrund der hohen Symmetrie des Potenzials (es bleibt invariant bei Drehung), können gleichzeitig zu den Energieeigenwerten auch Eigenwerte des Drehimpulses bestimmt werden, und zwar genauer die Eigenwerte das Quadrats des Drehimpulsoperators $\hat L^2$ sowie die seiner z-Komponente $\hat L_z$ . Damit ergeben sich Zustände, die von drei Quantenzahlen abhängen:

$\hat H|n;l;m\rangle =E|n;l;m\rangle$

$\hat L^2|n;l;m\rangle=\hbar ^2l(l+1) |n;l;m\rangle$

$\hat L_z|n;l;m\rangle=\hbar m|n;l;m\rangle$

In Ortsdarstellung ergeben die Eigenzustände die chemischen Orbitale:

s-Orbitale: $\Psi_{n,0,m}=\langle x|n;l=0;m\rangle$

p-Orbitale: $\Psi_{n,1,m}=\langle x|n;l=1;m\rangle$

d-Orbitale: $\Psi_{n,2,m}=\langle x|n;l=2;m\rangle$

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektron ist durch das Betragsquadrat gegeben $|\langle x|n;l;m\rangle|^2$ . Die Abbildungen zeigen dies beispielhaft für die Orbitale $|n=2;l=0;m=0\rangle$ und $|n=2;l=1;m=0\rangle$ . Hierbei wurden mit Hilfe der Lösung obiger Hamiltongleichung die Positionen des Elektrons jeweils 10000 mal simuliert und die so „gemessenen“ Orte als Punkte in das Diagramm eingetragen.

Weiterführende Aspekte der Quantenmechanik

Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen, Pauli-Prinzip

Durch die prinzipielle Unmöglichkeit, den Zustand eines quantenphysikalischen Systems vollständig zu bestimmen, verliert eine Unterscheidung zwischen mehreren Teilchen mit gänzlich identischen intrinsischen Eigenschaften (wie beispielsweise Masse oder Ladung, nicht aber Energie oder Impuls) in der Quantenmechanik gewissermaßen ihren Sinn. Während im Rahmen der klassischen Mechanik noch an mehreren identischen Teilchen simultan genaue Orts- und Impulsmessungen durchgeführt werden können, womit – zumindest prinzipiell – deren zukünftiger Verlauf vorhersagbar ist und man durch eine erneute Messung von Ort und Impuls zu einem späteren Zeitpunkt jedes Teilchen eindeutig wieder zuordnen kann, lässt eine quantenmechanische Betrachtung eine solche Durchnummerierung einzelner identischer Teilchen nicht zu. Es ist also beispielsweise nicht möglich festzustellen, ob bei einem System mehrerer Elektronen zwei Messungen an einzelnen Teilchen (wie beispielsweise ihres Impulses oder ihrer Ladung) zu unterschiedlichen Zeitpunkten jeweils an den selben oder an unterschiedlichen Teilchen erfolgten.

Die Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen hat weitreichende Auswirkungen auf die Symmetrieeigenschaften des Zustandes und auf die Statistik von Vielteilchensystemen. So kann gezeigt werden, dass der Zustand eines Vielteilchensystems identischer Partikel entweder symmetrisch $(|\psi _{12} \rang = + |\psi _{21} \rang)$ oder antisymmetrisch $(|\psi _{12} \rang = - |\psi _{21} \rang)$ bzgl. des Austausches zweier Teilchen „1“ und „2“ sein muss. Teilchen mit symmetrischem Zustand bezeichnet man als Bosonen, Teilchen mit antisymmetrischem Zustand als Fermionen. Weiterhin ergibt sich die Symmetrie bzgl. Vertauschung aus dem Spin der Teilchen: Partikel mit halbzahligem Spin (z. B.: Elektronen, Protonen und Neutronen) sind antisymmetrisch und damit Fermionen, Partikel mit ganzzahligem Spin (z. B.: Photonen) sind symmetrisch und damit Bosonen.

Dieser als Spin-Statistik-Theorem bezeichnete tiefgreifende Zusammenhang zwischen Spin, Symmetrie und Statistik von Teilchen lässt sich nur im Rahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie beweisen, jedoch kann er phänomenologisch in die nicht-relativistische Quantenmechanik integriert werden. Eine wichtige Konsequenz aus der Antisymmetrie der Fermionen ist die als „paulisches Ausschließungsprinzip“ bekannte Regel, dass zwei identische Fermionen nicht die gleichen Einteilchenzustände einnehmen können. Das paulische Ausschließungsprinzip ist von großer praktischer Bedeutung, da es bei der uns umgebenden, aus Atomen aufgebauten Materie die Mehrfachbesetzung elektronischer Zustände ausschließt und eine „Auffüllung“ der elektronischen Zustände bis zur Fermienergie erzwingt, wodurch die physikalischen und chemischen Eigenschaften von Materie entscheidend beeinflusst werden.

Auch die thermische Verteilung der Zustände von Fermionen und Bosonen unterscheidet sich wesentlich: Bosonen gehorchen der Bose-Einstein-Statistik, während die statistischen Eigenschaften von Fermionen durch die Fermi-Dirac-Statistik beschrieben werden.

Quantenverschränkung

Hauptartikel: Quantenverschränkung

Häufig können die Zustände eines aus mehreren Teilchen zusammengesetzten Systems nicht in unabhängige Zustände für jedes einzelne Teilchen aufgeteilt werden. In diesem Fall spricht man von verschränkten Zuständen. Verschränkte Teilchen weisen bemerkenswerte Eigenschaften auf, die der Intuition widersprechen. Zum Beispiel kann eine Messung an einem Teilchen durch den resultierenden Zusammenfall der Gesamt-Wellenfunktion eine sofortige (instantane) Auswirkung auf ein anderes, u.U. weit entferntes Teilchen haben, mit dem es verschränkt ist. Dieser Effekt steht nicht im Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie, da auf diese Weise keine Information übertragen werden kann.

Dekohärenz

Hauptartikel: Dekohärenz

Anwendungen

Quantenphysikalische Effekte spielen bei zahlreichen Anwendungsfällen der modernen Technologie eine wesentliche Rolle. Beispiele sind der Laser, das Elektronenmikroskop, die Atomuhr oder die bildgebenden Verfahren auf Basis der Kernspinresonanz. Die Untersuchung von Halbleitern führte zur Erfindung der Diode und des Transistors, die aus der modernen Elektronik nicht wegzudenken sind. Auch bei der Entwicklung von Kernwaffen spielen die Konzepte der Quantenmechanik eine wesentliche Rolle.

Bei der Erfindung bzw. Entwicklung dieser und zahlreicher weiterer Anwendungen kommen die Konzepte und der mathematische Formalismus der Quantenmechanik jedoch nur selten direkt zum Einsatz (eine bemerkenswerte Ausnahme sind die aktuellen Arbeiten zur Entwicklung eines Quantencomputers). In der Regel sind hierfür die anwendungsnäheren Konzepte, Begriffe und Regeln der Festköperphysik, der Chemie, der Materialwissenschaften oder der Kernphysik von größerer praktischer Bedeutung. Die Relevanz der Quantenmechanik ergibt sich hingegen aus der überragenden Bedeutung, die diese Theorie bei der Formulierung des theoretischen Fundamentes vieler wissenschaftlicher Disziplinen hat.

Im Folgenden sind einige Beispiele für Anwendungen der Quantenmechanik beschrieben:

Anwendungen in der Atomphysik und Chemie

Darstellung von d-Orbitalen

Die chemischen Eigenschaften aller Stoffe sind ein Ergebnis der elektronischen Struktur der Atome und Moleküle, aus denen sie aufgebaut sind. Grundsätzlich lässt sich diese elektronische Struktur durch Lösung der Vielteilchen-Schrödingergleichung für alle involvierten Atomkerne und Elektronen quantitativ berechnen. Es zeigt sich jedoch in der Praxis, dass einerseits die Durchführung der entsprechenden Berechnungen enorm aufwändig ist, andererseits jedoch zur Vorhersage und Beschreibung vieler chemischer Eigenschaften die Verwendung vereinfachter Modelle und Regeln völlig ausreichend ist. Bei der Formulierung dieser vereinfachten Modelle kommt der Quantenmechanik eine wichtige Bedeutung zu.

Ein in der Chemie besonders häufig verwendetes Modell ist das Orbitalmodell. Bei diesem Modell wird der Vielteilchenzustand der Elektronen der betrachteten Atome durch eine Summe der Einteilchenzustände der Elektronen gebildet. Das Modell beinhaltet verschiedene Näherungen (u.a.: Vernachlässigung der Coulomb-Abstoßung der Elektronen untereinander, Entkopplung der Bewegung der Elektronen von der Kernbewegung), erlaubt jedoch eine näherungsweise korrekte Beschreibung der Energieniveaus des Atoms. Der Vorteil dieses Modells liegt neben der vergleichsweise einfachen Berechenbarkeit insbesondere in der anschaulichen Aussagekraft sowohl der Quantenzahlen als auch der grafischen Darstellung der Orbitale.

Das Orbitalmodell erlaubt die Klassifizierung von Elektronenkonfigurationen nach einfachen Aufbauregeln (Hund'sche Regeln). Auch die Regeln zur chemischen Stabilität (Oktettregel / Edelgasregel / magische Zahlen) lassen sich durch dieses quantenmechanische Modell rechtfertigen.

Durch Summation mehrerer Atom-Orbitale lässt sich die Methode auf sog. Molekülorbitale erweitern, wobei Rechnungen in diesem Fall wesentlich aufwändiger werden, da Moleküle keine Kugelsymmetrie aufweisen. Zur Berechnung der Struktur und der chemischen Eigenschaften komplexer Moleküle auf Basis von Näherungslösungen der Schrödingergleichung haben sich mit der Quantenchemie bzw. der Computerchemie eigene Teildisziplinen der theoretischen Chemie etabliert.

Siehe auch:

Anwendungen in der Kernphysik

Anwendungen in der Festkörperphysik

Warum ist Diamant hart, spröde und durchsichtig, das ebenfalls aus Kohlenstoff bestehende Graphit jedoch weich und undurchsichtig? Wie lassen sich die elektrische und thermische Leitfähigkeit von Metallen und deren Glanz erklären? Wie funktionieren Leuchtdioden, Dioden und Transistoren? Was ist die Ursache für die magnetischen Eigenschaften von Eisen? Welche Mechanismen ermöglichen die Supraleitung?

Die oben genannten Beispiele lassen die Vielfalt an physikalischen Phänomenen kondensierter Materie nur erahnen. Tatsächlich ist die „Physik kondensierter Materie“ der mit Abstand größte Teilbereich der Physik.

Praktisch allen Phänomenen kondensierter Materie (inklusive den oben genannten Beispielen) ist gemeinsam, dass eine Beschreibung dieser Phänomene im Rahmen der klassischen Physik bestenfalls auf phänomenologischer Ebene möglich ist, während sich ihre mikroskopische Beschreibung im Rahmen der Quantenmechanik als überaus erfolgreich erwiesen hat.

Im folgenden ist eine (unvollständige) Auswahl an Phänomenen zusammengestellt, bei welchen sich die Quanteneffekte besonders deutlich zeigen:

Gitter-Phänomene – Phononen; Wärmeleitung in Isolatoren
Elektrostatische Eigenschaften – Polarisierbarkeit; Ferroelektrizität; Piezoelektrizität
Elektrische Leitfähigkeit - Nichtleiter; metallische Leitung; Halbleiter; Elektrische Leitfähigkeit; Bandstruktur, Bändermodell; Bandlücke; p-n-Übergang; Kondo-Effekt; Plasmonen; Quanten-Hall-Effekt; Supraleitung; Josephson-Effekt; Wigner-Kristall
Thermoelektrische Effekte - Thermoelektrizität, Thermotunneling
Magnetismus - Ferromagnetismus; Magnon; Spin-Glas
Tieftemperaturphasen – Bose-Einstein-Kondensat; Fermi-Flüssigkeit (z. B. bei ³He); Supraflüssigkeit; Suprafestkörper; Fermi-Kondensat (z. B. bei ⁶Li)
Dimensionseffekte – Quantendraht; Charge-Density-Waves; Quantenpunkt
Theorie der Supraleitung

Anwendungen in der Quanteninformatik

Von aktuellem Interesse ist die Suche nach robusten Methoden zur direkten Manipulation von Quantenzuständen. Es werden zur Zeit größere Anstrengungen unternommen, einen Quantencomputer zu entwickeln, welcher durch Ausnutzung der verschiedenen Eigenzustände und der Wahrscheinlichkeitsnatur eines quantenmechanischen Systems hochparallel arbeiten würde. Einsatzgebiet eines solchen Quantenrechners wäre beispielsweise das Knacken moderner Verschlüsselungsmethoden. Im Gegenzug hat man mit der Quantenkryptographie ein System zum theoretisch absolut sicheren Schlüsselaustausch gefunden, in der Praxis ist diese Methode häufig etwas abgewandelt und unsicherer, da es hier auch auf die Übertragungsgeschwindigkeit ankommt. Ein weiteres aktuelles Forschungsgebiet ist die Quantenteleportation, die sich mit Möglichkeiten zur Übertragung von Quantenzuständen über beliebige Entfernungen beschäftigt.

Mathematische Formulierung

Die wesentlichen Grundlagen für die mathematisch strenge Formulierung der Quantenmechanik wurden im Jahr 1932 durch John von Neumann formuliert. Demnach lässt sich ein physikalisches System allgemein durch drei wesentliche Bestandteile beschreiben: Seine Zustände, seine Observablen und seine Dynamik (d.h. durch seine zeitliche Entwicklung).

Postulate der Quantenmechanik

Die quantenmechanische Beschreibung eines Systems basiert auf Postulaten, die im folgenden zusammengefasst sind:

Der Zustand eines physikalischen Systems zu einem Zeitpunkt t₀ wird durch die Angabe eines zum Zustandsraum $\mathcal{H}$ gehörenden Zustandsvektors $|\psi(t_0)\rangle$ definiert.
Jede messbare physikalische Größe A ist durch einen im Zustandsraum wirkenden Operator $\hat A$ beschrieben. Dieser Operator ist eine Observable.
Resultat der Messung einer physikalischen Größe A kann nur einer der Eigenwerte der entsprechenden Observablen $\hat A$ sein.
(Im Fall eines diskreten nicht entarteten Spektrums) Wenn die physikalische Größe A an einem System im normierten Zustand $|\psi\rangle$ gemessen wird ist die Wahrscheinlichkeit P(a_n), den nichtentarteten Eigenwert a_n der entsprechenden Observable $\hat A$ zu erhalten (mit dem normierten Eigenvektor $\langle u_n|$ ): $P(a_n) = |\langle u_n|\psi \rangle|^2$ . (Entsprechend bei entartetem und kontinuierlichem Spektrum.)
Wenn die Messung der physikalischen Größe A an einem System im Zustand $|\psi\rangle$ das Ergebnis a_n ergibt, ist der Zustand des Systems unmittelbar nach der Messung die normierte Projektion $\frac{\hat P_n|\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|\hat P_n|\psi \rangle}}$ von $|\psi\rangle$ auf den mit a_n assoziierten Eigenunterraum.
Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors $|\psi(t)\rangle$ ist gegeben durch die Schrödingergleichung:

$i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat H(t)|\psi(t)\rangle$ wobei $\hat H(t)$ die der totalen Energie des Systems zugeordnete Observable ist.

Quantenmechanische Zustände

In der klassischen Mechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems mit $f$ Freiheitsgraden und dessen zeitliche Entwicklung durch die Angabe von $f$ Paaren kanonisch konjugierter Variablen $q i, p i$ vollständig bestimmt. Weil in der Quantenmechanik zwei entsprechend zueinander konjugierte Observablen prinzipiell nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind, stellt sich die grundsätzliche Frage, inwiefern eine entsprechende Definition des Zustands eines quantenphysikalischen Systems sinnvoll ist. Der fundamentale Ansatz im Rahmen der Quantenmechanik, dass ein physikalisches System ausschließlich über gleichzeitig messbare Observablen zu definieren ist, ist einer ihrer wesentlichen Unterschiede zur klassischen Mechanik. Erst durch die konsequente Umsetzung einer solchen Zustandsdefinition lässt sich eine Vielzahl quantenphysikalischer Phänomene theoretisch beschreiben.

Im Rahmen der Quantenmechanik wird ein physikalischer Zustand $|\psi\rangle$ über einen maximalen Satz $\{O_1,O_2,\ldots,O_f\}$ gleichzeitig messbarer Observablen definiert, man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem vollständigen Satz kommutierender Observabler (VSKO). Observablen können bei einer Messung ganz bestimmte Werte annehmen, deren Spektrum i. d. R. vom betrachteten System abhängen. Die jeweils möglichen Messwerte $n$ werden Eigenwerte der Observablen genannt und können, je nach betrachtetem System, sowohl diskret als auch kontinuierlich verteilt sein. Die zu diesen Eigenwerten zugehörigen Zustände $|n\rangle$ werden als Eigenzustände der Observablen bezeichnet. Da sich Messungen bezüglich der Observablen eines VSKO nicht gegenseitig beeinflussen, lässt sich durch die Verwendung geeigneter Filter ein gegebenes quantenphysikalisches System zu einem Zustand präparieren, der Eigenzustand zu jeder der Observablen des VSKO ist:

$|\psi\rangle = \left|n^{(O_1)},\ldots,n^{(O_f)}\right\rangle.$

Abb. 2: Schematische Darstellung eines 3-dimensionalen Unterraums des i.A. unendlich-dimensionalen Hilbertraums. Der Zustand ist aus einer Linearkombination der Eigenzustände eines VSKO aufgebaut. Die Koordinaten sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden.

Ein solcher Zustand wird häufig auch reiner Quantenzustand genannt. Er ist über seine zugehörigen Eigenwerte definiert und maximal bestimmt.

Es sei betont, dass über einen derart präparierten Quantenzustand – im Gegensatz zum Zustand eines klassischen Systems – nicht sämtliche messbaren Eigenschaften des physikalischen Systems bestimmt sind! Für Observablen, die mit dem VSKO unverträglich sind, kann für jeden ihrer Eigenwerte lediglich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit angeben werden, mit der dieser aus einer Messung resultiert; das Messergebnis ist in jedem Fall ein Eigenwert der Observable. Diese prinzipielle Unbestimmtheit hängt mit der o.g. Unbestimmtheitsrelation zusammen. Sie ist eine der wichtigsten Aussagen der Quantenmechanik und ist zugleich Ursache für vielerlei Ablehnung dieser gegenüber.

Für ein gegebenes quantenphysikalisches System bilden die zu den Eigenwerten einer Observable gehörenden Eigenzustände einen linearen Zustandsraum $\mathcal H$ – mathematisch einen sogenannten Hilbertraum. Dieser stellt die Gesamtheit aller möglichen Zustände des Systems dar und hat damit im Allgemeinen bereits bei einfachen Systemen wie dem quantenmechanischen harmonischen Oszillator unendlich viele Dimensionen. Wesentlich ist hierbei, dass auch eine lineare Überlagerung mehrerer Eigenzustände wieder Teil des Zustandsraumes ist, selbst wenn dieser Überlagerungszustand

$|\psi\rangle = \sum_i \omega_i |n_i\rangle,\quad \omega_i\in\mathbb{C}$

kein Eigenzustand der Observable ist. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer Superposition mehrerer Zustände. Diese Eigenschaft ist vergleichbar mit der von Vektoren in einer Ebene, deren Überlagerung ebenfalls ein Vektor in der Ebene ist.

Das einfachste nichttriviale Beispiel eines Quantensystems ist das Zweizustandssystem, welches sich experimentell als sog. Qubit realisieren lässt. Für eine ausführliche quantenmechanische Beschreibung des Zweizustandssystems sei auf den Artikel zum Qubit verwiesen.

Statistische Aussagen der Quantenmechanik

Abb. 3: Wahrscheinlichkeiten diskreter Messwerte der Observablen O, Erwartungswert und Standardabweichung.

Aus der Zerlegung des Zustandes nach den Eigenzuständen $|n_i\rangle$ der Observablen ergibt sich mit dem Betragsquadrat $| ω i | 2$ des entsprechenden Vorfaktors ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, bei einem solchen Überlagerungszustand den Eigenwert $n i$ zu messen bzw. das System im Eigenzustand $|n_i\rangle$ anzutreffen. Die Koeffizienten $ω i$ werden daher als „Wahrscheinlichkeitsamplituden“ für die Messwerte $n i$ bezeichnet. Sie lassen sich als Projektion (=Skalarprodukt) von $|\psi\rangle$ auf den jeweiligen Eigenzustand $|n_i\rangle$ berechnen (siehe Abb. 2):

$\omega_i = \langle n_i|\psi\rangle$

Demnach ergeben sich bei wiederholter Durchführung einer Messung einer Observablen i.A. unterschiedliche Messergebnisse, auch wenn das System vor der Messung immer im gleichen Zustand war. Ausnahme: Sofern das System in einem Eigenzustand einer Observablen $O$ präpariert wurde, ergeben weitere Messungen dieser Observablen jeweils den gleichen Messwert. Experimentell lassen sich die statistischen Verteilungen der Messwerte $n i$ durch wiederholte Durchführung von Messungen an identisch präparierten Systemen ermitteln (siehe Abb. 3). Dieser Zusammenhang zwischen dem Messprotokoll und dem mathematischen Kalkül der Quantenmechanik bestätigt sich in allen Experimenten.

Zeitliche Entwicklung

Die Dynamik von Quantenzuständen wird durch unterschiedliche Modelle, die sog. „Bilder“, beschrieben, welche sich durch Redefinition der Operatoren und Zustände ineinander überführen lassen und somit äquivalent sind.

Im sog. Schrödinger-Bild ergibt sich die Dynamik aus folgender Betrachtung: Der Zustand ist definiert durch eine differenzierbare Abbildung der durch t parametrisierten Zeit auf den Hilbertraum der Zustände. Wenn $\left|\psi\left(t\right)\right\rangle$ den Zustand des Systems zu einer beliebigen Zeit „t“ beschreibt, gilt die folgende Schrödingergleichung:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi(t)\right\rangle=\hat H\left|\psi(t)\right\rangle$

mit $\hat H$ als einem dicht-definierten selbst-adjungierten Operator, dem sog. Hamiltonoperator, der imaginären Einheit „i“ und dem reduzierten Planck'schen Wirkungsquantum $\hbar$ . Als Observable entspricht $\hat H$ der Gesamtenergie des Systems.

Im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik wird anstelle zeitlicher Änderungen der Zustände, die in diesem Bild konstant bleiben, die Zeitabhängigkeit durch zeitabhängige Operatoren für die Observablen beschrieben. Für die zeitabhängigen Heisenberg-Operatoren ergibt sich die Differentialgleichung

$\mathrm{i}\hbar{\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}\hat A(t) = [\hat A(t),\hat H]$

Es kann gezeigt werden, dass die sich aus dem Schrödinger-Bild und dem Heisenberg-Bild ergebenden Erwartungswerte für die Observable „ $\hat A$ “ identisch sind, sofern $\hat A$ nicht im Schrödingerbild eine explizite Zeitabhängigkeit aufweist.

Das sogenannte Dirac-Bild oder Wechselwirkungsbild hat sowohl zeitabhängige Zustände als auch zeitabhängige Operatoren, wobei für Zustände und Operatoren unterschiedliche Hamiltonoperatoren gelten. Dieses Bild ist dann am nützlichsten, wenn die zeitliche Entwicklung der Zustände exakt lösbar ist, sodass sämtliche mathematischen Komplikationen auf die Zeitentwicklung der Operatoren begrenzt bleiben. Aus diesem Grund wird der Hamiltonoperator für die Zustände als „freier Hamiltonoperator“ und der Hamiltonoperator für die Observablen als „Wechselwirkungs-Hamiltonian“ bezeichnet. Die dynamische Entwicklung wird durch folgende Gleichungen beschrieben:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi(t)\right\rangle=\operatorname{\hat H_0}\left|\psi(t)\right\rangle$

$i\hbar{\partial\over\partial t}\hat A(t) = [\hat A(t),\hat H_{\rm int}]$

Das Heisenbergbild entspricht am ehesten dem Modell der klassischen Mechanik, unter pädagogischen Gesichtspunkten gilt jedoch das Schrödingerbild als am einfachsten verständlich. Das Dirac-Bild wird häufig in der Störungstheorie – speziell in der Quantenfeldtheorie – angewandt.

Manche Wellenfunktionen bilden Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die sich mit der Zeit nicht ändern. Viele Systeme, die in der klassischen Mechanik mit einem dynamischen Zeitverhalten beschrieben werden müssen, weisen in der quantenmechanischen Beschreibung solche „statischen“ Wellenfunktionen auf. Zum Beispiel wird ein einzelnes Elektron in einem Atom im Grundzustand durch eine kreisförmige Trajektorie um den Atomkern beschrieben, während es in der Quantenmechanik durch eine statische, kugelsymmetrische Wellenfunktion beschrieben wird, die den Atomkern umgibt (siehe Bild 1). (Man beachte, dass nur die kleinsten Drehimpuls-Zustände, die „s“-Wellen- kugelsymmetrisch sind).

Die Schrödingergleichung ist wie die eng verwandte Heisenberggleichung und die Gleichungen des Wechselwirkungsbildes eine partielle Differentialgleichung, die nur für einige wenige Modellsysteme analytisch gelöst werden kann (zu den wichtigsten Beispielen gehören der quantenmechanische harmonische Oszillator und das Elektron im Coulombpotential). Selbst die Elektronenstruktur des Helium-Atoms, das nur ein Elektron mehr als Wasserstoff aufweist, ist bereits nicht mehr analytisch berechenbar. Es existieren jedoch eine Reihe verschiedener Techniken zur Berechnung von Näherungslösungen. Ein Beispiel ist die Störungstheorie, bei der vorhandene analytische Lösungen vereinfachter Modellsysteme als Ausgangspunkt zur Berechnung komplexerer Modelle verwendet werden. Diese Methode ist insbesondere dann erfolgreich, wenn sich die Wechselwirkungen des komplexen Modells als „kleine“ Störungen des einfachen Modellsystems formulieren lassen. Eine andere Methode ist die sog. „semiklassische Näherung“, die auf Systeme angewendet werden kann, die nur kleine Quanteneffekte aufweisen. Die quantenmechanisch bedingten Effekte können dann unter der Annahme klassischer Bewegungstrajektorien berechnet werden. Dieser Ansatz wird z. B. bei der Erforschung des Quanten-Chaos zugrundegelegt.

Neuere Formalismen

Ein alternativer Ansatz zur Berechnung quantenmechanischer Systeme ist Feynmans Pfadintegral-Formalismus, bei dem eine quantenmechanische Amplitude eine Summe über die Wahrscheinlichkeitsamplituden für alle theoretisch möglichen Pfade eines Teilchens bei seiner Bewegung von einem Ausgangszustand zu einem Zielzustand bildet. Diese Formulierung ist das quantenmechanische Analogon zu dem klassischen Wirkungsprinzip.

Erst in neuerer Zeit ist eine allgemeinere mathematische Beschreibung von Observablen durch positiv-operatorwertige Wahrscheinlichkeitsmaße (positive operator valued probability measures, POVM) entstanden, die in der traditionellen Lehrbuchliteratur noch kaum behandelt wird. Operationen auf Quantensystemen werden in der modernen, aber noch wenig bekannten Version der Quantenmechanik durch „completely positive maps“, vollständig positive Abbildungen, sehr umfassend und mathematisch elegant beschrieben. Diese Theorie verallgemeinert sowohl die unitäre Zeitentwicklung als auch die oben beschriebene traditionelle von-Neumannsche Beschreibung der Veränderung eines Quantensystems bei einer Messung. Konzepte, die nur schwer im traditionellen Bild beschrieben werden können, wie z. B. kontinuierlich ablaufende unscharfe Messungen, fügen sich problemlos in diese neuere Beschreibung ein.

Geschichte

Im Jahr 1900 entwickelte Max Planck eine Formel zur Beschreibung der gemessenen Frequenzverteilung der von einem Schwarzkörper emittierten Strahlung, wobei er von der Annahme ausging, dass der schwarze Körper aus Oszillatoren mit diskreten Energieniveaus besteht^[3]. Albert Einstein erweiterte dieses Konzept und schlug im Jahr 1905 eine Quantisierung der elektromagnetischen Strahlung vor, um den photoelektrischen Effekt zu erklären^[4].

In den Folgejahren stellte sich rasch das Potenzial des Konzeptes quantisierter Energieportionen heraus. So weist dieses Modell nicht das Problem der Divergenz der bei kurzen Wellenlängen emittierten Strahlungsleistung von schwarzen Körpern auf, welches sich bei Anwendung der klassischen Theorie des Elektromagnetismus zeigte (Ultraviolett-Katastrophe). 1913 erklärte Niels Bohr die Spektrallinien des Wasserstoffatoms unter Annahme diskreter Energiezustände des Elektrons im Wasserstoffatom (Bohrsches Atommodell). Im Jahr 1924 veröffentlichte Louis de Broglie seine Theorie der Materiewellen, wonach jegliche Materie einen Wellencharakter aufweisen kann, und umgekehrt Wellen auch einen Teilchencharakter aufweisen können^[5]. De Broglies Theorie wurde drei Jahre später in zwei unabhängigen Experimenten bestätigt, welche die Beugung von Elektronen nachwiesen. Der britische Physiker George Paget Thomson leitete einen Elektronenstrahl durch einen dünnen Metallfilm und beobachtete die von de Broglie vorhergesagten Interferenzmuster^[6]. In einem ähnlichen, bereits 1919 in den Bell Labs durchgeführten Experiment beobachteten Clinton Davisson und sein Assistent Lester Germer die Beugungsmuster eines an einem Nickel-Kristall reflektierten Elektronenstrahls. Die Erklärung gelang ihnen jedoch erst 1927 mit Hilfe der Wellentheorie De Broglies^[1].

Die oben erwähnten Theorien (heute kollektiv als „alte Quantentheorien“ bezeichnet) waren zwar bei der Beschreibung einzelner, im Rahmen der klassischen Physik unverständlicher Phänomene erfolgreich, wiesen jedoch noch den Makel auf, dass sie auf einer rein phänomenologischen Basis hergeleitet waren: Das Konzept der Quantisierung wurde ohne Einbindung in einen theoretischen Gesamtzusammenhang postuliert. Auch zeigte sich, dass diese Theorien bereits bei Anwendung auf einfache Systeme wie z. B. das Helium-Atom versagten. Diese Probleme führten zunächst zu einer Ernüchterung bei den mit der Quantentheorie befassten Wissenschaftlern.

Die moderne Quantenmechanik fand ihren Beginn im Jahr 1925 mit der Formulierung der Matrizenmechanik durch Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan^[7] ^[8] ^[9]. Wenige Monate später erfand Erwin Schrödinger über einen völlig anderen Ansatz -ausgehend von De Broglies Theorie der Materiewellen- die Wellenmechanik und die Schrödingergleichung^[10]. Kurz darauf konnte Schrödinger nachweisen, dass sein Ansatz mit der Matrizenmechanik äquivalent ist. ^[11]

Heisenberg beschrieb seine Unschärferelation im Jahr 1927; im gleichen Jahr wurde auch die Kopenhagener Interpretation formuliert. In den Jahren ab ca. 1927 vereinigte Paul Dirac die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie. Er führte auch erstmalig die Verwendung des Operator-Theorie inklusive der Bra-Ket-Notation ein und beschrieb diesen mathematischen Kalkül 1930 in einem bedeutenden Sachbuch^[12]. Zur gleichen Zeit formulierte John von Neumann die strenge mathematische Basis für die Quantenmechanik, wie z. B. die Theorie linearer Operatoren auf Hilberträume, die er 1932 in seinem ebenfalls bedeutenden Sachbuch beschrieb^[13]. Der Ausdruck „Quantenphysik“ wurde erstmals 1931 in Max Planck's Buch „The Universe in the Light of Modern Physics" verwendet^[14]. Die in dieser Aufbauphase formulierten Ergebnisse haben bis heute Bestand und werden allgemein zur Beschreibung quantenmechanischer Aufgabenstellungen verwendet.

Die Vorreiter der Quantenchemie waren Walter Heitler und Fritz London, die im Jahr 1927 eine Untersuchung der kovalenten Bindung des Wasserstoffmoleküls veröffentlichten. Die Quantenchemie wurde in der Folge von zahlreichen Wissenschaftlern weiterentwickelt, unter ihnen der amerikanische Chemiker Linus Pauling, der 1954 für seine Arbeiten auf diesem Gebiet den Nobelpreis für Chemie erhielt.

Ab 1927 wurde versucht, die Quantenmechanik nicht nur auf Partikel, sondern auch auf Felder anzuwenden, woraus die Quantenfeldtheorien entstanden. Die ersten Ergebnisse auf diesem Gebiet wurden durch Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Victor Weisskopf, und Pascual Jordan erzielt. Dieses Forschungsgebiet fand seine bislang größten Erfolge in den 40er Jahren des 20. Jahrhunderts mit der Formulierung der Quantenelektrodynamik durch Richard Feynman, Freeman Dyson, Julian Schwinger, und Sin-Itiro Tomonaga. Die Quantenelektrodynamik beschreibt Elektronen, Positronen und das elektromagnetische Feld erstmals in einer durchgängigen Weise. Die hier entwickelten Konzepte und Methoden wurden als Vorbild für weitere, später entwickelte Quantenfeldtheorien verwendet.

Die Theorie der Quantenchromodynamik wurde Anfang der 60er Jahre des 20. Jahrhunderts ausgearbeitet. Die heute bekannte Form der Theorie wurde 1975 durch David Politzer, David Gross and Frank Wilczek formuliert. Aufbauend auf den wegweisenden Arbeiten von Schwinger, Peter Higgs, Goldstone und Sheldon Glashow konnten Steven Weinberg und Abdus Salam unabhängig voneinander zeigen, wie die schwache Kernkraft und die Quantenelektrodynamik zu der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung zusammengeführt werden können.

Wichtige Personen zur Entwicklung der Theorie

Max Planck, Erklärung des Spektrums der Schwarzkörperstrahlung durch die Annahme eines Wirkungsquantums
Albert Einstein, Erklärung des photoelektrischen Effekts durch physikalische Interpretation des planckschen Wirkungsquantums
Niels Bohr, Vorschlag eines Atommodells mittels einiger Ad-hoc-Postulate
Louis de Broglie, Idee des Welle-Teilchen-Dualismus
Werner Heisenberg, Erste Formulierung der Matrizenmechanik und Entdeckung der nach ihm benannten Unschärferelation
Pascual Jordan, mathematische Vervollständigung der Matrizenmechanik (zusammen mit M. Born und W. Heisenberg)
Max Born, Formulierung der Matrizenmechanik (zusammen mit W. Heisenberg und P. Jordan), statistische Interpretation der Wellenfunktion
Erwin Schrödinger, Formulierung der Wellenmechanik
Paul Dirac, Zusammenführung der Theorien Heisenbergs und Schrödingers; Aufstellung der Dirac-Gleichung für Fermionen und somit Begründung der relativistischen Quantenmechanik
Wolfgang Pauli, Einführung des Spins als neuer quantenphysikalischer Freiheitsgrad und des nach ihm benannten Ausschließungs-Prinzips
John von Neumann, mathematische Formulierung der Quantenmechanik auf Basis von Zuständen und Operatoren in Hilberträumen

Richtungsweisende Experimente

Thomas Young's Doppelspaltexperiment, bei dem die Wellennatur von Licht nachgewiesen wurde (c1805)
Henri Becquerel entdeckt die Radioaktivität (1896)
Joseph John Thomson's Kathodenstrahlexperimente (Entdeckung des Elektrons und seiner negativen Ladung) (1897)
Untersuchungen der Schwarzkörperstrahlung zwischen 1850 und 1900, die ohne Annahme von Quanteneffekten nicht erklärbar waren.
Der photoelektrische Effekt: Einstein erklärte diesen Effekt im Jahr 1905 unter Verwendung des Konzeptes von Photonen, Teilchen und Licht mit quantisierter Energie (wofür er später den Nobelpreis erhielt) .
Robert Millikan's Millikan-Versuch, der bewies, dass elektrische Ladungen in quantisierten Mengen auftreten (1909)
Ernest Rutherford's Streuexperimente an Goldfolien widerlegten das Puddingmodell des Atoms, welches von einer mehr oder weniger gleichförmigen Verteilung der positiven und negativen Ladung des Atoms ausging. (1911)
James Franck und Gustav Ludwig Hertz wiesen durch die inelastische Streuung von Elektronen an Quecksilber nach, dass Atome ein Anregungsspektrum mit diskreten Energieniveaus besitzen (1913).
Otto Stern und Walther Gerlach führten das Stern-Gerlach Experiment durch, welches die quantisierte Natur des Spins bewies. (1920)
Clinton Davisson und Lester Germer bewiesen die Wellennatur des Elektrons mit ihrer Erklärung eines Elektronenbeugungsexperiment, das sie bereits 1919 durchgeführt hatten. (1927)
Clyde L. Cowan und Frederick Reines bestätigten die Existenz des Neutrinos in dem Neutrino-Experiment (1955)
Claus Jönsson`s Experiment zur Beugung von Elektronen an Einzel- und Mehrfachspalt (Doppelspaltexperiment mit Elektronen) (1961)

Zusammenhänge mit anderen physikalischen Theorien

Klassischer Grenzfall

Niels Bohr formulierte 1923 das sog. Korrespondenzprinzip, wonach die Eigenschaften von Quantensystemen im Grenzwert großer Quantenzahlen (insbesondere im Grenzwert großer Teilchenzahlen) mit hoher Genauigkeit den Gesetzen der klassischen Physik entsprechen. Dieser Grenzwert bei großen Systemen wird als „klassischer Grenzfall“ oder „Korrespondenz-Limit“ bezeichnet. Hintergrund dieses Prinzips ist die Erfahrungstatsache, dass viele makroskopische Systeme (Federn, Kondensatoren etc.) sehr genau durch klassische Theorien wie die klassische Mechanik oder die klassische Elektrodynamik beschrieben werden können. Daraus resultiert die Erwartung, dass die Quantenmechanik im Falle „großer“ Systeme diese klassischen Eigenschaften reproduziert bzw. ihnen nicht widerspricht.

Das Korrespondenzprinzip ist daher ein wichtiges Hilfsmittel bei der Konstruktion und Verifikation quantenmechanischer Modellsysteme: Zum Einen liefern „klassische“ Modelle mikroskopischer Systeme wertvolle heuristische Anhaltspunkte zur quantenmechanischen Beschreibung des Systems. Zum Anderen kann die Berechnung des klassischen Grenzfalls zur Plausibilisierung der quantenmechanischer Modellrechnungen herangezogen werden. Sofern sich im klassischen Grenzfall physikalisch unsinnige Resultate ergeben, kann das entsprechende Modell verworfen werden.

Umgekehrt bedeutet diese Korrespondenz aber auch, dass die korrekte quantenmechanische Beschreibung eines Systems, inklusive einiger nicht-klassischer Effekte wie etwa des Tunneleffekts, oft näherungsweise mittels klassischer Begriffe möglich ist; solche Näherungen erlauben oft ein tieferes Verständnis der quantenmechanischen Systeme. Man spricht hier auch von semiklassischer Physik. Beispiele für semiklassische Beschreibungen sind die WKB-Näherung und die Gutzwillersche Spurformel.

Vereinheitlichung mit der speziellen Relativitätstheorie

In den Anfangszeiten der Entwicklung der Quantenmechanik wurde die Theorie noch nicht unter Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie angewandt. So verwendet zum Beispiel das wohlbekannte Modell des quantenmechanischen harmonischen Oszillators einen explizit nichtrelativistischen Ausdruck für die kinetische Energie des Oszillators; dieses Modell ist daher das quantenmechanische Analogon zum klassischen harmonischen Oszillator.

Frühe Versuche, die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie zu verbinden, erfolgten durch Ersetzen der Schrödingergleichung durch kovariante Gleichungen wie die Klein-Gordon Gleichung oder die Dirac-Gleichung. Diese Theorien waren zwar erfolgreich bei der Beschreibung vieler experimenteller Ergebnisse, jedoch waren sie noch insofern lückenhaft, als sie die relativistische Erzeugung und Vernichtung von Teilchen nicht beschreiben konnten. Eine vollständige relativistische Quantentheorie erforderte die Entwicklung einer Quantenfeldtheorie, die nicht nur eine Quantisierung von Observablen wie Energie oder Impuls beschreibt, sondern die die Wechselwirkung vermittelnden Felder selbst quantisiert. Die erste vollständige Quantenfeldtheorie, die Quantenelektrodynamik, erlaubt die durchgängige quantenmechanische Beschreibung der elektromagnetischen Wechselwirkung.

Der umfassende Formalismus der Quantenfeldtheorie ist häufig nicht zur Beschreibung elektrodynamischer Systeme erforderlich. Eine einfacherer Ansatz, der seit den Anfängen der Quantenmechanik verwendet wurde, ist die Behandlung geladener Teilchen als quantenmechanische Objekte, die der Wirkung eines klassischen elektromagnetischen Feldes unterliegen. So können zum Beispiel die elektronischen Zustände des Wasserstoffatoms in sehr guter Näherung durch Verwendung eines klassischen „1/r“-Potentials berechnet werden. Dieser „semiklassische“ Ansatz schlägt allerdings fehl, wenn die Quantenfluktuationen im elektromagnetischen Feld eine wichtige Rolle spielen, wie dies zum Beispiel bei der Emission von Photonen durch geladene Teilchen der Fall ist.

Quantenmechanische Beschreibung der Gravitation

Die einzige bekannte Situation, bei der die Quantenmechanik möglicherweise an ihre Grenzen stößt, liegt vor, wenn die Effekte der Gravitation eine relevante Rolle spielen. Dies ist vermutlich in der Nähe von schwarzen Löchern der Fall, oder bei Betrachtungen des Universums als Ganzes. So lässt sich auf Basis der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) nicht vorhersagen, was mit einem Partikel geschieht, welches die Singularität eines schwarzen Loches erreicht. Wird es tatsächlich - wie es die ART vorhersagt - in einen Zustand unendlicher Dichte gequetscht? Die Quantenmechanik sagt dagegen voraus, dass das Partikel - analog zu dem Elektron des Wasserstoffatoms - eine Unsicherheit in der Position behält, sodass es die Singularität nicht erreichen und damit dem Kollaps in einen Zustand unendlicher Dichte entkommen kann. Man nimmt daher an, dass sich die zwei wichtigsten Errungenschaften der Physik des 20. Jahrhunderts, die Theorie der Quantenmechanik und die allgemeine Relativitätstheorie, widersprechen.

Die Suche nach einer Auflösung dieses Widerspruchs ist Gegenstand aktueller Forschung (siehe z. B. den Artikel über die Quantengravitation). Die Formulierung einer quantenmechanischen Theorie der Gravitation als letzter Grundkraft hat sich allerdings als schwierig herausgestellt. Semiklassische Näherungen konnten erfolgreich angewendet werden, woraus sich z. B. die Voraussage der Hawking-Strahlung ergibt. Jedoch wird die Formulierung einer vollständigen Theorie der Quantengravitation durch Unverträglichkeiten zwischen der allgemeinen Relativitätstheorie und einigen fundamentalen Annahmen der Quantentheorie bislang verhindert. Die Auflösung dieser Unverträglichkeiten ist Gegenstand aktueller Forschung, und Theorien wie die String-Theorie könnten möglicherweise die Grundlage für eine zukünftige Theorie der Quantengravitation bereitstellen.

Interpretationen und philosophische Aspekte der Quantenmechanik

Hinsichtlich ihres empirischen Erfolges gilt die Quantenmechanik als eine der am besten gesicherten physikalischen Theorien überhaupt, seit ihrer Formulierung vor inzwischen einem Jahrhundert konnte die Quantenmechanik bis heute experimentell nicht falsifiziert werden. Die meisten Physiker gehen davon aus, dass sie unter „fast“ allen Umständen eine korrekte Beschreibung der physikalischen Eigenschaften von Energie und Materie ermöglicht. Dennoch weist die Quantenmechanik verschiedene konzeptionelle Schwachpunkte und Lücken auf, darunter insbesondere die fehlende Quantentheorie der Gravitation sowie die bis heute nicht abgeschlossene Diskussion bzgl. der Interpretation der Quantenmechanik:

Interpretation

Akzeptiert man das mathematische Modell der Quantenmechanik als vollständige Beschreibung der physikalischen Phänomene in ihrem Anwendungsbereich, stellt man fest, dass beim Messprozess der zufällige Ausgang eines Einzelexperiments eine andere Bedeutung erhält, als dies in klassischen statistischen Theorien der Fall ist. Selbst bei bestmöglicher Präparation eines quantenmechanischen Zustands verteilen sich die Messergebnisse bestimmter Beobachtungsgrößen zufällig über eine Anzahl möglicher Messergebnisse. Im Gegensatz z. B. zur statistischen Mechanik liegt dies allerdings nicht an der Unfähigkeit des Experimentators den Zustand exakt zu präparieren und auch nicht an der Unzulänglichkeit der Messgerätes, sondern stellt im Rahmen der Standardinterpretation der Quantenmechanik eine prinzipielle Beschränkung der Messung dieser Beobachtungsgröße in diesem Zustand dar. Die Sichtweise, dass die Quantenmechanik trotz ihrer Unfähigkeit, Messergebnisse in Einzelexperimenten definit zu beschreiben, die vollständige Naturbeschreibung liefert, drückt sich daher auch in der Meinung aus, dass es gar keine objektiv existierenden Eigenschaften des Einzelsystems gibt, die mit einem einzelnen Messergebnis korrespondieren. Eine objektive Eigenschaft eines quantenmechanischen Zustands im Kontext einer Messung ist vielmehr nur die statistische Verteilung der Messergebnisse bei Messung eines ganzen Ensembles. Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch vom objektiven Zufall in der Quantenmechanik.

Die Debatte zu den obigen Fragen eröffneten Albert Einstein: „Die Quantenmechanik ist unvollständig“ und „Gott würfelt nicht“ und Niels Bohr, der die Komplementarität betonte und Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation verteidigte. Im Lauf der mehrjährigen heftigen Diskussion musste Einstein die Unbestimmtheitsrelation akzeptieren, während Bohr seine Idee der Komplementarität deutlich abschwächte, was zur heute vorherrschenden Kopenhagener Interpretation führte.

Heute gehen Physiker mehrheitlich davon aus, dass die Quantentheorie alles beschreibt, was es über ein System zu wissen gibt, und dass die Messvorgänge irreduzibel sind und nicht nur unser beschränktes Wissen reflektieren. Diese Interpretation hat im Weiteren zur Folge, dass der Akt des Beobachtens die Schrödingergleichung umgeht und das System instantan in einen Eigenzustand fällt (der so genannte Zusammenbruch der Wellenfunktion). Neben der Kopenhagener Interpretation sind aber auch verschiedene andere nennenswerte Deutungen vorgeschlagen worden.

David Bohm hat eine nichtlokale Theorie mit verborgenen Variablen entwickelt (Bohmsche Mechanik), wobei die Wellenfunktion als Führungswelle des Teilchens interpretiert wird. Diese Theorie liefert exakt die gleichen empirischen Voraussagen wie die Kopenhagener Interpretation der nichtrelativistischen Quantenmechanik, so dass experimentell nicht zwischen beiden unterschieden werden kann. Obwohl diese Theorie deterministisch ist, verhindert die Heisenbergsche Unschärferelation, dass der Zustand der verborgenen Variablen jemals genau bekannt sein kann. Zusammen mit der in der Bohmschen Theorie postulierten Quantengleichverteilungs-Hypothese hat das zur Folge, dass Messresultate wie bei der Kopenhagener Deutung entsprechend dem Quadrat der Wellenfunktion statistisch verteilt erscheinen. Bisher ist noch nicht abschließend gesichert, dass diese Theorie auch auf die relativistische Quantenmechanik erweitert werden kann. Ähnliche Theorien mit verborgenen Variablen stammen von Louis de Broglie und anderen.
Hugh Everetts Viele-Welten-Interpretation behauptet, dass alle von der Quantentheorie nicht ausgeschlossenen Möglichkeiten tatsächlich gleichzeitig geschehen, und zwar in einem Viel-Welt-Universum von meist unabhängigen Paralleluniversen. Diese Interpretation kommt ohne „Zusammenbruch“ der globalen Wellenfunktion beim Messprozess aus; vielmehr entwickelt sich die globale „Viele-Welten-Wellenfunktion“ deterministisch. Die Tatsache, dass wir Zufälligkeit und scheinbar einen Zusammenbruch der Wellenfunktion beobachten, ist dann darauf zurückzuführen, dass wir subjektiv nur ein Universum beobachten können, während andere Kopien von uns in anderen Universen anderes beobachten. In Everetts Interpretation ist die Messung ein Vorgang, welcher von einer regulären Schrödingergleichung beschrieben werden kann und keine spezielle Behandlung verlangt.
Eine andere Richtung versucht, durch eine Abänderung der klassischen Logik in eine Quantenlogik die Interpretationsprobleme zu beseitigen.
Die von John G. Cramer entwickelte sog. Transaktionsinterpretation basiert auf Emitter-Absorber-Wechselwirkungen, die sowohl in die Zukunft als auch in die Vergangenheit gerichtet sind. Diese Interpretation ist ebenso wie die bohmsche nichtlokal und kausal und sie vermeidet einen beobachterabhängigen Kollaps des Quantenzustands durch den Messprozess [3].

Es folgt eine Auflistung wichtiger Schlüssel- und Gedankenexperimente zur Interpretation der Quantenmechanik:

Dass Quantenphänomene nichtlokal sein können, verdeutlicht das Paradoxon von de Broglie.
Das EPR-Experiment (ein Gedankenexperiment von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen) und damit zusammenhängend die Bellsche Ungleichung und das real durchgeführte Aspect-Experiment zeigen klar die Unverträglichkeit der Quantenmechanik mit einer Theorie ausschließlich lokaler verborgener Variablen. Nichtlokale Interpretationen der Quantentheorie mit verborgenen Variablen werden dadurch nicht ausgeschlossen.
Das Messproblem und das Problem der Verständlichkeit werden - neben anderen grundlegenden Eigenschaften der Quantenmechanik - am Doppelspaltexperiment sichtbar. Die hier gezeigte scheinbare Doppelnatur von physikalischen Objekten als Teilchen und Welle führte Niels Bohr auf die Idee des Welle-Teilchen-Dualismus: Wellen- und Teilchenmodell als zwei komplementäre Sichtweisen, die beide für ein vollständiges Verständnis notwendig sind und sich dennoch gegenseitig ausschließen. Außerdem zeigt das Doppelspaltexperiment das unterschiedliche Verhalten des Systems mit und ohne Messung.
Schrödingers Katze, ein Gedankenexperiment von Erwin Schrödinger wirft die Frage nach der Realität nichtbeobachteter Phänomene auf.
Wigners Freund ist eine Variation von Schrödingers Katze, wobei die Betonung auf den Einfluss des menschlichen Bewusstseins auf den Messprozess gelegt wird.
Wechselwirkungsfreie Messung (Bomben-Experiment)

Philosophische Fragen

Viele Interpretationen der Quantenmechanik werfen allgemeinere philosophische Fragen auf, die Grundbegriffe und Ansätze der Ontologie, Epistemologie und Wissenschaftstheorie betreffen. Dies betrifft etwa die folgenden Probleme:

Determinismus: Gibt es in der Natur Zufall oder sind die Naturgesetze streng deterministisch?
Lokalität / Separabilität: Sind alle Wechselwirkungen lokal beschränkt, oder gibt es Fernwirkungen (bzw. Fernkorrelationen)?
Kausalität: Welche Theorie der Verursachung kann den eben genannten Problemen Rechnung tragen?
Realität: Gibt es physikalische Objekte, die physikalische Eigenschaften objektiv besitzen?
Komplementarität: Wie ist es zu verstehen, dass (wie in der sogenannten „Kopenhagener Deutung“ formuliert wird) Aspekte komplementär sind? Kann die Welt inklusive aller beobachtbarer Phänomene mit einer einzigen widerspruchfreien Theorie erklärt werden (Theory of Everything (TOE) genannt)? Oder sind bestimmte Aspekte nur von bestimmten (sich jeweils ausschließenden) Theorien erfassbar?
Rolle des Beobachters: Welche Rolle spielt der Beobachter, und insbesondere das Bewusstsein, in der Physik?

Determinismus

Die offensichtlichste Frage, die die Quantenmechanik aufwirft, ist die des Determinismus. Die Gesetze der klassischen Physik sind streng deterministisch: Kennt man den aktuellen Zustand eines abgeschlossenen Systems vollständig, dann kann man theoretisch sein Verhalten, also alle zukünftig möglichen Beobachtungen an diesem System, bis in alle Ewigkeit exakt vorhersagen. Jegliches anscheinend zufällige Verhalten und jegliche Wahrscheinlichkeiten resultieren im Rahmen der klassischen Physik ausschließlich auf unserer Unkenntnis.

In der Quantenmechanik ist dies anders: Selbst bei vollständiger Kenntnis des aktuellen Zustands eines quantenmechanischen Systems ist es im Allgemeinen nicht möglich, das Ergebnis einer Messung eindeutig vorherzusagen. Es lassen sich für die möglichen Meßergebnisse nur Wahrscheinlichkeiten angeben. Damit stellt sich die Frage: Ist dieser Wahrscheinlichkeitscharakter fundamental, oder ist er ein Hinweis darauf, dass die quantenmechanische Beschreibung unvollständig ist und durch zusätzliche, prinzipiell unbeobachtbare Parameter, so genannte verborgene Variablen, ergänzt werden muss?

Der Formalismus der Quantenmechanik erlaubt es nicht, diese Frage eindeutig zu beantworten. Die verschiedenen Interpretationen der Quantenmechanik geben daher unterschiedliche Antworten.

Die Kopenhagener Interpretation erklärt den Wahrscheinlichkeitscharakter für objektiv: Das Ergebnis einer Messung ist objektiv zufällig, es gibt keinerlei Grund, warum eine Messung ein bestimmtes von mehreren möglichen Ergebnissen hat.

Die Bohmsche Mechanik hingegen vertritt den entgegengesetzten Standpunkt: Ihr zufolge gibt es verborgene Variablen, deren Bewegung vollständig deterministisch ist und die Ergebnisse einer Messung bestimmen. Das scheinbar zufällige Verhalten bei Quantenmessungen folgt aus unserer Unkenntnis dieser verborgenen Variablen, deren statistische Verteilung die beobachteten Wahrscheinlichkeiten bei Messungen bestimmt.

Eine interessante Zwischenposition nimmt die Viele-Welten-Interpretation ein: Auch in ihr entwickelt sich der Zustand des Universums streng deterministisch, die beobachtete Zufälligkeit ist jedoch nicht Folge von zusätzlichen verborgenen Variablen, sondern Folge der Aufspaltung in verschiedene Welten: Bei jeder Messung werden grundsätzlich alle möglichen Ergebnisse realisiert, jedoch erhalten wir nur eines der Ergebnisse, weil sich unsere Welt durch die Messung in verschiedene Welten aufgespalten hat, in denen jeweils eines der Ergebnisse realisiert ist. Wir nehmen aber jeweils nur eine dieser Welten wahr (in den anderen Welten leben aber „Parallel-Ichs“, die die jeweils anderen Messwerte wahrnehmen). Daher ist es für uns objektiv unmöglich, das beobachtete Ergebnis der Messung vorherzusagen. Insofern ist in dieser Interpretation der beobachtete Zufall objektiv (es ist nicht möglich, das erhaltene Ergebnis der Messung aus dem Zustand vor der Messung abzuleiten), für das Universum an sich gibt es jedoch keinen Zufall (alle Möglichkeiten werden, streng deterministisch, realisiert).

Realität

Eine weitere Frage, die durch die Quantenmechanik aufgeworfen wurde, ist die nach der Realität. In der klassischen Physik ging man allgemein davon aus, dass die messbaren physikalischen Größen Teil der Realität sind, und jede Messung letztlich etwas über die Realität in Erfahrung bringt. Zwar stört auch in der klassischen Mechanik jede Messung unweigerlich das gemessene System, jedoch lässt sich die Störung beliebig klein machen, so dass es sinnvoll ist, idealisierend von störungsfreien Messungen auszugehen. Solche physikalischen Größen sind dabei strikt zu trennen von solchen Größen, die nur unser Wissen über ein System beschreiben, etwa den Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Nach der klassischen Physik befindet sich ein Teilchen stets an einem bestimmten Ort; jede Wahrscheinlichkeitsverteilung für seinen Aufenthaltsort beschreibt nur unsere Unkenntnis und ist daher kein Teil der Realität.

In der Quantenmechanik ist jedoch eine störungsfreie Messung prinzipiell nicht möglich (es sei denn, man kennt bereits das Messergebnis). Viel wesentlicher ist jedoch, dass man beim EPR-Experiment mittels der Bellschen Ungleichung nachweisen kann, dass zumindest unter der Voraussetzung der Lokalität der Messwert vor der Messung noch gar nicht festgestanden haben kann. Da unsere gesamte Kenntnis über die Welt auf Beobachtungen, also auf Messungen im weiteren Sinne beruht, stellt sich die Frage, ob es überhaupt sinnvoll ist, einem unbeobachteten System Eigenschaften zuzuschreiben, oder ob nicht vielmehr die beobachteten Eigenschaften überhaupt erst durch die Beobachtung entstehen.

Die Kopenhagener Deutung vertritt die letztere Ansicht. Ihr zufolge hat es gar keinen Sinn, davon zu sprechen, welchen Zustand beispielsweise ein Elektron hat, solange man es nicht beobachtet; beim Doppelspaltexperiment darf man also nach dieser Interpretation streng genommen nicht sagen, das Elektron sei durch die Spalte hindurchgeflogen, sondern nur, dass es auf der einen Seite emittiert und dann später an einer bestimmten Stelle auf der anderen Seite gemessen wurde. Aussagen darüber, was dazwischen passiert ist, sind sinnlos. Die quantenmechanische Wellenfunktion bzw. der quantenmechanische Zustand beschreibt in der Kopenhagener Deutung nur unsere Kenntnis über zukünftige Messergebnisse und ist daher ähnlich wie klassische Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht Teil der Realität. Im Gegensatz zur klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilung steckt jedoch hinter dem quantenmechanischen Zustand keine tieferliegende Realität, auf deren Unkenntnis die Wellenfunktion zurückgeführt werden könnte.

Diese Deutung ist jedoch nicht allgemein akzeptiert. Der bekannteste Gegner dieser Anschauung war Albert Einstein, der das Problem mit der Frage verdeutlichte: „Ist der Mond da, wenn keiner hinschaut?“ Da auch der Mond letztlich durch die Quantenmechanik beschrieben wird, sollte nach der Kopenhagener Deutung auch jegliche Aussage über den Mond sinnlos sein, solange er nicht beobachtet wird. Jedoch gehen wir von klassischen Objekten wie dem Mond intuitiv davon aus, dass sie auch unbeobachtet weiterexistieren. In der Tat wollten Einstein, Podolski und Rosen mit ihrem EPR-Experiment (damals noch ein reines Gedankenexperiment) nachweisen, dass die Quantenmechanik unvollständig sei.

Die Bohmsche Mechanik ist ein Versuch, die Quantenmechanik zu vervollständigen. In ihr wird die Wellenfunktion nicht nur als Beschreibung unserer Kenntnis, sondern als Teil der Realität begriffen. Zusätzlich zur Wellenfunktion gibt es auch noch unbeobachtbare Teilchenkoordinaten, deren Bewegung durch die Wellenfunktion gesteuert wird; letztere wirkt dadurch als „Führungswelle“ für die Teilchen. Die realen Teilchen und die reale Wellenfunktion bestimmen zusammen die beobachteten Messwerte. Der Mond ist also in der bohmschen Mechanik da, auch wenn wir nicht hinschauen. Allerdings können wir nicht alle seine Eigenschaften beobachten.

Wiederum nimmt die Viele-Welten-Interpretation eine Mittelstellung ein. Auch in ihr ist der quantenmechanische Zustand, wie in der bohmschen Mechanik, real, jedoch beschreibt er allein die Welt bereits vollständig. Allerdings sehen wir nicht die wahre Wellenfunktion, sondern nur einen „Zweig“ der Realität, eine einzelne von vielen Welten. Die Frage, ob der Mond da ist, lässt sich in dieser Interpretation also nur in Bezug auf eine bestimmte Welt beantworten; in dieser ist er also entweder da, oder nicht.

Rolle des Beobachters

Eng mit den vorhergehenden Fragen verknüpft ist die Frage, welche Rolle der Beobachter in der Physik spielt. Diese Frage wird dadurch aufgeworfen, dass die Quantenmechanik zwei völlig unterschiedliche Zeitentwicklungen aufweist: Die eine Zeitentwicklung, die Schrödingergleichung, beschreibt ein unbeobachtetes System. Es handelt sich hierbei um eine deterministische, stetige Änderung in der Zeit, ganz analog zur Zeitentwicklung klassischer Felder. Die andere Zeitentwicklung beschreibt die Beobachtung. Hier wird nur zwischen „vorher“ und „nachher“ unterschieden, die Änderung erfolgt also sprunghaft, zudem ist sie prinzipiell nichtdeterministisch. Offenbar gelten also in der Quantenmechanik andere Regeln, sobald ein Beobachter ins Spiel kommt. Die Frage ist nun, ob dieser Unterschied real ist, und wenn ja, worauf er beruht.

In der Kopenhagener Deutung ist der Unterschied fundamental, da ihr zufolge die Quantenmechanik nur die Sicht des Beobachters beschreibt: Natürlich macht es für den Beobachter einen Unterschied, ob er gerade eine Beobachtung vornimmt, oder einfach Zeit verstreicht, ohne dass er etwas beobachtet. In ersterem Fall erhält er zusätzliche, nicht vollständig vorhersagbare Information, die natürlich auch seine Beschreibung des Systems, also seine Erwartungen an zukünftige Messwerte, beeinflusst, während er in letzterem Fall keinerlei neue Information bekommt, seine weiteren Vorhersagen also nicht von vorher unbekannter Information abhängen.

Anders sieht es bei realistischen Interpretationen aus: Wenn die Wellenfunktion real ist, dann muss man sich entscheiden, ob der Kollaps der Wellenfunktion bei Beobachtung ebenfalls real ist. Die Position des realen Kollapses wird zum Beispiel durch Wigners Bewusstseinswellen vertreten: Hier wird ein explizit dualistisches Weltbild angenommen, in dem das Bewusstsein etwas von der Materie verschiedenes ist, das die Fähigkeit hat, quantenmechanische Wellenfunktionen zum Kollabieren zu bringen.

In der Viele-Welten-Interpretation hingegen ist der Kollaps nur scheinbar durch die Aufspaltung der Welt in Teilwelten; da wir nur eine Teilwelt wahrnehmen, sehen wir nur einen Teil der Wellenfunktion, die uns daher als „kollabiert“ erscheint. Der Beobachter spielt in dieser Interpretation keine besondere Rolle; die Welten spalten durch die Wechselwirkung mit makroskopischen Objekten und die dadurch verursachte Dekohärenz auf.

Eine etwas größere Rolle spielt der Beobachter in der Many-Minds-Interpretation, einer Variante der Viele-Welten-Interpretation. Auch in dieser gibt es keinen realen Kollaps, aber auch keine generelle Aufspaltung der Welten durch Wechselwirkung. Vielmehr ist es der Geist bzw. das Gehirn, das durch seine Selbstwahrnehmung die Aufspaltung in Welten verursacht; anders als in der Viele-Welten-Interpretation ist also die Aufspaltung nicht beobachterunabhängig, sondern existiert nur relativ zu einem (materialistisch verstandenen) Geist. Insofern nimmt diese Interpretation eine Mittelstellung ein: Es ist durchaus der Geist, der für den beobachteten Kollaps der Wellenfunktion verantwortlich ist, aber nicht, indem er als zusätzliche Entität einen physikalischen Kollaps verursacht, sondern indem er als Teil der materiellen Welt die wahrgenommene Realität relativ zum Beobachter in getrennte Welten „zerlegt“.

Einige Zitate

Wenn es doch bei dieser verdammten Quantenspringerei bleiben soll, so bedaure ich, mich überhaupt jemals mit der Quantentheorie abgegeben zu haben.- Erwin Schrödinger in einer Diskussion mit Niels Bohr

Diejenigen, die nicht schockiert sind, wenn sie zum ersten mal mit Quantenmechanik zu tun haben, haben sie nicht verstanden. - Niels Bohr

Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Liebe Gott mit Würfeln spielt! - Albert Einstein

Einstein, schreiben Sie Gott nicht vor, was er zu tun hat. - Niels Bohr

Ich denke, man kann mit Sicherheit sagen, dass niemand Quantenmechanik versteht. (I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics.) - Richard Feynman

Die Feststellung, dass die gegenwärtigen Wandlungen unseres Wertsystems viele Wissenschaftszweige beeinflussen werden, mag jene überraschen, die an eine objektive, wertfreie Wissenschaft glauben; sie ist jedoch eine der wichtigen Implikationen der Neuen Physik. Heisenbergs Beiträge zur Quantentheorie, (...) führen eindeutig zu der Erkenntnis, dass das klassische Ideal wissenschaftlicher Objektivität nicht mehr aufrechterhalten werden kann. - Fritjof Capra

Ich bin immer noch verwirrt, aber auf einem höheren Niveau. (I am still confused, but on a higher level.) - Enrico Fermi

Siehe auch

Wikibooks: Quantenmechanik – Lern- und Lehrmaterialien

Videos

Quantenmechanik im Alltag (Aufnahme eines Vortrags am 2.11.2006)
Die Väter der Quantenmechanik (Aufnahme eines Vortrags am 19.10.2006)
RealVideo: Was ist die Unschärferelation? (aus der Fernsehsendung Alpha Centauri)
RealVideo: Welche Bedeutung hat die Unschärferelation? (aus der Fernsehsendung Alpha Centauri)
Vorlesung der Universität Tübingen über Quantenphysik
Vorlesung der Universität Tübingen über die Quantentheorie

Literatur

Standard-Lehrbücher

Claude Cohen-Tannoudji: Quantenmechanik. ISBN 3-11-016458-2
A.S. Dawydow: Quantenmechanik. ISBN 3527402578
Richard Feynman: „Feynman Vorlesungen über Physik, Bd. 3, Quantenmechanik“. ISBN 3486251341
Eugen Fick: Einführung in die Grundlagen der Quantentheorie. ISBN 3-89104-472-0
Torsten Fließbach: Quantenmechanik. ISBN 3-8274-0996-9
Wolfgang Nolting: „Grundkurs Theoretische Physik 5/1 (Quantenmechanik - Grundlagen)“. ISBN 3-540-40071-0
Wolfgang Nolting: „Grundkurs Theoretische Physik 5/2 (Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen)“. ISBN 3-540-40072-9

Allgemeinverständliche Einführungen

Tony Hey und Patrick Walters: Das Quantenuniversum. ISBN 3-8274-0315-4
Anton Zeilinger: Einsteins Schleier, Die neue Welt der Quantenphysik. Goldmann 2003, ISBN 3-442-15302-6
Silvia Arroyo Camejo: Skurrile Quantenwelt. Springer Berlin 2006, ISBN 3540297200

Interpretationen der Quantenmechanik

David Albert: Quantum Mechanics and Experience, Cambridge, MA: Harvard University Press 1992 Zugleich eine sehr gut und leicht lesbare Einführung mit sehr einfachen Modellen.
K. Baumann und R.U. Sexl (Hrsg.): Die Deutungen der Quantentheorie. ISBN 3-5280-8540-1 Nützliche Sammlung der klassischen Texte in deutscher Übersetzung
Peter Forrest: Quantum metaphysics. Oxford : Blackwell 1988, ISBN 0-631-16371-9 Diskussion realistischer metaphysischer Interpretationsoptionen
R. I. G. Hughes: The structure and interpretation of quantum mechanics. Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Pr. 1989, ISBN 0-674-84391-6 Zugleich eine vollwertige, aber nur Schulmathematik voraussetzende Einführung in die Theorie
O. Passon: Bohmsche Mechanik. ISBN 3-8171-1742-6
Michael Redhead: Incompleteness, nonlocality and realism : a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics. Oxford : Clarendon Pr. 1987, ISBN 0-19-824937-3 Eines der wichtigsten weiterführenden Werke, inklusive einer knappen Darstellung der Theorie
John Archibald Wheeler (Hg.): Quantum theory and measurement Princeton, NJ : Princeton Univ. Pr. 1983, ISBN 0-691-08315-0 Standard-Handbuch mit den wichtigsten Texten aus der Interpretationsgeschichte

Anwendung der Quantenmechanik in der Theoretischen Chemie

A. Szabo, N. S. Ostlund: Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory, Dover Publications, 1996, ISBN 0486691861.
P. W. Atkins, R. S. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, 4. Aufl., Oxford University Press, Oxford, 2004, ISBN 0199274983.
W. Kutzelnigg, Einführung in die Theoretische Chemie, Wiley-VCH, Weinheim, 2002, ISBN 3527306099.
J. Reinhold, Quantentheorie der Moleküle, 3. Aufl., Teubner, 2006, ISBN 3835100378.

Originalarbeiten und sonstige Quellen

↑ ^a ^b C. Davisson and L. H. Germer: Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel In: Phys. Rev.. 30, Nr. 6, 1927 ([1])
↑ A Tonomura, J Endo, T Matsuda, T Kawasaki and H Ezawa: Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, American Journal of Physics 57(1989), 117-120.
↑ M. Planck: „Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum“, Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237 - 245, Berlin (vorgetragen am 14.12.1900)
↑ A. Einstein: „Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt“, Annalen der Physik 17 (1905), Seite 132-148. [2]
↑ L. de Broglie: “Recherches sur la théorie des Quanta“, Doktorarbeit. Engl. Übersetzung (übers. A.F. Kracklauer): Ann. de Phys., 10e serie, t. III, (1925)
↑ G. P. Thomson: „The Diffraction of Cathode Rays by Thin Films of Platinum.“ Nature 120 (1927), 802
↑ W. Heisenberg: „Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen“ Zeitschrift für Physik 33 (1925), S. 879-893.
↑ M. Born, P. Jordan: „Zur Quantenmechanik“, Zeitschrift für Physik 34 (1925), 858
↑ M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan: „Zur Quantenmechanik II“, Zeitschrift für Physik 35 (1926), 557
↑ E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem I“, Annalen der Physik 79 (1926), 361-376. E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem II“, Annalen der Physik 79 (1926), 489-527. E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem III“, Annalen der Physik 80 (1926), 734-756. E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem IV“, Annalen der Physik 81 (1926), 109-139
↑ E. Schrödinger: „Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen“, Annalen der Physik 79 (1926), 734-756.
↑ P. A. M. Dirac: “Principles of Quantum Mechanics“, Oxford University Press, 1958, 4th. ed, ISBN 0-198-51208-2
↑ John von Neumann: “Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik“, Springer Berlin, 1996, 2. Auflage. Engl. (autorisierte) Ausg. (übers. R. T Beyer): “Mathematical Foundations of Quantum Mechanics“, Princeton Univ. Press, 1955 (dort p. 28 sqq.)
↑ M. Planck: "The Universe in the Light of Modern Physics“, WW Norton & Company, Inc., New York, 1931

Weblinks