Kleinsche Vierergruppe
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In der Algebra ist die Kleinsche Vierergruppe die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie ist benannt nach Felix Klein und wird oft mit dem Buchstaben V bezeichnet.
Ihre Verknüpfungstabelle ist diese:
| * | 1 | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | b | c |
| a | a | 1 | c | b |
| b | b | c | 1 | a |
| c | c | b | a | 1 |
Die Vierergruppe tritt z. B. auf als Symmetriegruppe eines Rechtecks:
************** * * **************
Die vier Elemente sind dabei: die Identität, die Spiegelung an der waagerechten Mittelachse, die Spiegelung an der senkrechten Mittelachse, und die 180 Grad-Drehung um den Mittelpunkt.
Die drei Elemente ungleich der Identität haben die Ordnung 2. Die Vierergruppe ist abelsch und isomorph zu Z/2Z × Z/2Z und zur Diedergruppe der Ordnung 4.
Eine Permutationsdarstellung von V liefert die Nummerierung der Ecken des obigen Rechtecks:
- V = {id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}
In dieser Darstellung ist V die Kommutatorgruppe und damit ein Normalteiler der alternierenden Gruppe A4 und auch Normalteiler der symmetrischen Gruppe S4. In der Galoistheorie erklärt die Existenz der Kleinschen Vierergruppe in dieser Darstellung die Existenz der Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades.
Man kann die Vierergruppe auch darstellen als Automorphismengruppe des folgenden Graphen:
*----* *----*----*
