Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem
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Das Kolmogorow-Arnold-Moser Theorem (KAM-Theorem) ist ein Resultat aus der Theorie der dynamischen Systeme, das Aussagen über das Verhalten eines solchen unter kleinen Störungen macht. Das Theorem löst partiell das Problem der kleinen Teiler, das in der Störungsrechnung von Dynamischen Systemen, insbesondere in der Himmelsmechanik auftaucht.
Das KAM-Theorem entsprang der Fragestellung, ob eine kleine Störung eines konservativen dynamischen Systems zu einer quasiperiodischen Bewegung führt. Der Durchbruch bei der Beantwortung dieser Frage gelang Kolmogorow im Jahre 1954. Das Resultat wurde 1964 von Arnold für hamiltonsche Systeme und 1963 von Moser für sogenannte smooth twist maps streng Bewiesen.
[Bearbeiten] Heuristik
Das Hauptresultat der KAM-Theorie garantiert die Existenz von quasiperiodischen Lösungen für eine gewisse Klasse von Differentialgleichungen. Eine wichtige Unterklasse davon bilden die Differentialgleichungen für das sogenannte N-Körperproblem. Quasiperiodische Lösungen können beliebig nahe beieinander liegen, so dass es möglich ist, dass eine kleine Störung der quasiperiodischen Bahn dazu führt, dass sich die quasiperiodische Bahn in eine instabile wandelt. Es kann jedoch gezeigt werden, dass die instabilen Bahnen sehr viel seltener sind, als die Stabilen.
[Bearbeiten] Das Theorem
Falls ein ungestörtes System nicht entartet ist, dann werden für genügend kleine autonome hamiltonsche Störungen die meisten nicht resonanten Tori lediglich leicht deformiert, so dass auch im Phasenraum des gestörten Systems invariante Tori existieren, welche von den Phasenbahnen dicht und quasiperiodisch umsponnen werden, wobei die Frequenzen rational unabhängig sind. Diese invarianten Tori bilden die Mehrheit in dem Sinne, dass das Mass des Komplements ihrer Vereinigung klein ist, wenn die Störung schwach ist.
[Bearbeiten] Referenzen
- Jürgen Pöschel: A lecture on the classical KAM-theorem. In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (AMS). 69, 2001, S. 707–732 (links to PDF file)
- Rafael de la Llave (2001) A tutorial on KAM theory. Online copy
