Kompakte Menge
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[Bearbeiten] Definition
Eine Teilmenge der reellen Zahlen heißt kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Sie darf also keine Zahlenfolgen enthalten, die zwar konvergieren, deren Grenzwert jedoch nicht zu der Menge gehört. Auch Folgen mit dem Grenzwert „Unendlich“ sind nicht erlaubt.
[Bearbeiten] Satz
Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist kompakt, wenn jede Folge aus der Menge eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert zu der Teilmenge gehört.
[Bearbeiten] Beispiele
Seien a und b reelle Zahlen und a < b.
- Ein geschlossenes Intervall [a,b] ist kompakt. Jede konvergente Folge in diesem Intervall muss auf einen Intervallwert konvergieren.
- Die halboffenen Intervalle ]a,b], [a,b[ und das offene Intervall ]a,b[ sind nicht kompakt, da sie nicht abgeschlossen sind. Es gibt Folgen, die auf einen Randpunkt des Intervalls konvergieren.
- Die Menge der reellen Zahlen ist nicht kompakt, da sie zwar abgeschlossen, aber nicht beschränkt ist. Sie enthält deshalb Zahlenfolgen, von denen jede Teilfolge „über alle Grenzen wächst“ (zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen).
[Bearbeiten] Verallgemeinerung
Siehe Kompakter Raum
