Diskussion:Konvexe Menge

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Ich find es ein bisschen schade, dass die Definition der Verbindungsstrecke (anscheinend ersatzlos) entfernt wurde.

Auch wundere ich mich über die Streichung des reellen beim Vektorraum. Gibt es denn eine Verbindungsstrecke auch in einem Vektorraum über Q oder über C, und wenn ja, wie ist sie dort definiert? Der Begriff der Konvexkombination als

"Linearkombinationen αa + βb, für die 0 ≤ α, β ≤ 1 und α+β=1 gilt"

macht in einem Vektorraum über einem nicht geordneten Körper nicht wirklich Sinn, oder? --SirJective 00:03, 18. Dez 2004 (CET)

Die Verbindungsstrecke habe ich nicht entfernt, sondern nur nach unten verschoben - siehe konvexe Hülle. Ich halte es für wichtig, daß die Einleitung möglichst "allgemeinverständlich" ist (möglichst wenig Formeln und Fachausdrücke :-) -- darum habe ich auch den Vektorraum nur in Klammer erwähnt.

Mit dem Entfernen des Attributs "reell" war ich wohl ein bißchen vorschnell. Die Definition ist zwar durchaus sinnvoll (zwischen 0 und 1 können auch in C nur reelle Zahlen liegen -- die komplexen Zahlen sind "teilweise geordnet", es ist durchaus üblich, die Ordnung der reellen Zahlen auch in C beizubehalten!), aber kaum gebräuchlich, und auf Q und andere Teilkörper von R kann man in der Erklärung ohne weiteres verzichten. (Ich habe an solche Beispiele gedacht: in C ist z.B. der Einheitskreis |z| <= 1 konvex.)

--Peter S 21:26, 18. Dez 2004 (CET)

Hast recht, die Verbindungsstrecke ist weiter unten definiert - ich hab's ja selbst zitiert *g*

Die teilweise Ordnung auf C ist ein interessanter Punkt, der mir neu ist. Falls du damit eine Halbordnung meinst: Würdest du wirklich "2+i <= 2+i" schreiben? Ich kann mir durchaus vorstellen, die reflexiv-transitive Hülle der Ordnung von R in C zu bilden. In der würde dann aus "0 <= a" bereits folgen, dass a reell ist.

Konvexe Mengen in nichtreellen Vektorräumen hab ich selbst noch nie gesehen, kann mir aber durchaus vorstellen, die Definition auf beliebige geordnete Körper zu erweitern (und nicht alle von denen sind Teilkörper von R). --SirJective 22:49, 18. Dez 2004 (CET)

Nein "2+i <= 2+i" ist nicht üblich (und würde nur zu Komplikationen führen). Von konvexen Gebieten in C zu sprechen ist normal. Aber das erhält man leicht auch, indem man C als Vektorraum über R auffaßt. Wie gesagt, ich habe das "reell" zu schnell entfernt. Man müßte übrigens auch Körper mit char/=0 ausnehmen. Was im Artikel vielleicht noch fehlt, wären Details zur Konvexität ohne Vektorraumstruktur (hyperbolische Geometrie, Riemannsche Geometrie). Und natürlich mehr Resultate zu konvexen Mengen (bzw. entsprechende Links) --Peter S 19:31, 22. Dez 2004 (CET)

Da wir keine Halbordnung auf C haben, sehe ich also folgendes als eine Konvention:

Seien a, b aus C, dann gilt a <= b genau dann, wenn a, b aus R und a <= b bzgl. der Ordnung von R.

Ich bin mit dieser Notation etwas vorsichtig, weil ich sie nie selbst gebraucht habe.

Natürlich erhält man den üblichen Konvexitätsbegriff für Teilmengen von C, indem man C als R-VR auffasst, und sicherlich hab ich in meinen Vorlesungen auch den einen oder anderen Satz über konvexe Gebiete gehabt. Körper der Charakteristik ungleich 0 schließt man in dem Moment aus, wo man sich auf geordnete Körper konzentriert, denn diese Körper können nicht geordnet werden. Aber das ist vermutlich eine Verallgemeinerung, die nicht von großem Interesse ist. Bleiben wir also bei reellen Räumen.

Du hast recht, sobald man eine Geometrie hat, in der man Strecken definiert, kann man konvexe Mengen definieren. Dies wäre eine interessante Ergänzung zu diesem Artikel. Aber über dieses Thema weiß ich leider nicht mehr als das, was ich mir schnell selbst herleiten könnte. ;)

--SirJective 20:38, 22. Dez 2004 (CET)

Wieso soll das keine Halbordnung (ich ziehe "teilweise Ordnung" vor) sein? Zwei komplexe Zahlen sind genau dann vergleichbar, wenn sie reell sind. (das ist natürlich transitiv). Aber das ist wirklich nur Bequemlichkeit. Man kann dann halt schreiben (a+bi)(a-bi) >= 0 u.ä. --Peter S 21:16, 22. Dez 2004 (CET)

Ganz einfach: Eine Halbordnung ist reflexiv, d.h. eine komplexe Zahl müsste mit sich selbst vergleichbar sein. Aber damit weichen wir vom eigentlichen Thema ab. --SirJective 13:42, 23. Dez 2004 (CET)

Stimmt - aber es gibt auch strenge Halbordnungen ;-) Wir sind damit aber wirklich "Off Topic" --Peter S 19:21, 5. Jan 2005 (CET)

Ich finde die Skizzen etwas unglücklich, weil dort die "erlaubten" Punkte diskret zu liegen scheinen. In dem Kontext ist es so nicht offensichtlich, dass das Herz nichtkonvex ist. Speziell die obere Verbindungsstrecke enthält hier gerade keinen der diskreten Punkte, der außerhalb liegt. Vorschlag: Das Punktgitter einfach entfernen. Auch die Verbindungslinie unten links "schrammt" nur gerade so an der Offensichtlichkeit vorbei. --19:15, 15. Aug 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Merksatz

 Ist das Mädchen brav, bleibt der Bauch konkav,
 hat das Mädchen sex, wird der Bauch konvex.

Den muss ich mir merken :D