Konvexe Menge
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Eine geometrische Figur (oder eine Teilmenge M eines reellen oder komplexen Vektorraums) wird konvex genannt, wenn mit je zwei ihrer (beliebig gewählten) Punkte auch deren Verbindungsstrecke in der Menge liegt, d.h. wenn für alle 
gilt, dass
.
Dies entspricht der Aussage, dass die Menge hinsichtlich jedes ihrer Punkte sternförmig ist.
Eine Menge, die nicht konvex ist, wird nichtkonvexe Menge genannt.
Oft wird dafür auch die Bezeichnung konkave Menge verwendet. Dies ist jedoch irreführend, weil konkav nicht die Negation von konvex ist.
[Bearbeiten] Beispiele
- jedes Dreieck ist konvex
- Kreisscheiben und Kugeln sind konvex
- unter den Vierecken sind z. B. die Trapeze immer konvex, während es beim Deltoid (Drachenviereck) auch nichtkonvexe Vertreter gibt (Pfeilviereck)
- Der Rand (die Menge der Randpunkte) einer ebenen Figur ist keine konvexe Menge.
Für Bilder von Mengen, die nicht konvex sind, siehe nichtkonvexe Menge.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Der Durchschnitt (Schnittmenge) beliebig vieler konvexer Mengen ist konvex. Somit bilden die konvexen Teilmengen eines Vektorraumes ein Hüllensystem. (Die Vereinigung konvexer Mengen ist hingegen im Allgemeinen nicht konvex.)
Die konvexe Hülle einer Menge ist die kleinste konvexe Obermenge. Sie ist der Durchschnitt aller konvexen Mengen, in denen sie enthalten ist.
In vielen Fällen ergibt sich eine konvexe Menge aus den Konvexkombinationen ihrer Extremalpunkte (Satz von Krein-Milman).
