Mann-Whitney-U-Test

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Der Mann-Whitney-Test ("Mann-Whitney-U-Test" oder kurz "U-Test") ist ein parameterfreier statistischer Test. Der U-Test ist ein Homogenitätstest. Er dient zur Überprüfung der Signifikanz der Übereinstimmung zweier Verteilungen, also ob zwei unabhängige Verteilungen A und B (zum Beispiel eine unbeeinflusste und eine beeinflusste) zu derselben Grundgesamtheit gehören.

Der Test wurde von Mann und Whitney (1947) sowie Wilcoxon (1945) entwickelt und wird deshalb auch Mann-Whitney-Wilcoxon (MWW)-Test genannt. Der Wilcoxon-Rangsummentest ist ein ähnlicher Test.

Man hat 2 Stichproben vor sich, Stichprobe A mit n1 Werten und Stichprobe B mit n2 Werten. Man vergleicht jeden Wert der Stichprobe A mit jedem Wert der Stichprobe B. Es gibt also n1 * n2 Vergleiche. Die Nullhypothese H(0) besagt, dass es keinen Unterschied zwischen den Verteilungen gibt, d. h. A=B.

Der Test funktioniert einseitig oder zweiseitig. Beim einseitigen Test wird geprüft, ob A > B bzw. A < B ist, beim zweiseitigen Test wird geprüft, ob A = B ist.

Zunächst wird aus beiden Zahlenreihen je eine Prüfgröße U gebildet:

$U1=n_1 n_2 +{n_1(n_1+1) \over 2}-R_1$

$U2=n_1 n_2 +{n_2(n_2+1) \over 2}-R_2$

n1 und n2 sind dabei die Anzahlen der Zahlenwerte pro Reihe, R1 und R2 sind die Rangzahlen der geordneten Reihen. Um diese zu ermitteln, werden alle Werte beider Reihen zusammen aufsteigend in eine Tabelle geschrieben. Die Rangzahlen der Zahlenwerte werden für A und für B getrennt in zwei Spalten aufsummiert. Sind zwei oder mehrere Werte in beiden Datensätzen gleich, dann müssen in beiden Rangspalten jeweils die Mediane (bzw. arithmetischen Mittel) eingetragen werden. Für den zweiseitigen Test benötigt man das Minimum von U1 und U2, also min U=min(U1, U2).

U1 und U2 bzw. min U werden nun mit der Testgröße U() verglichen. Beim einseitigen Test ist diese Testgröße

$U=n_1*n_2/2 -u(\alpha)*\sqrt{n_1 n_2 (n_1+n_2+1) \over 12}.$

und beim zweiseitigen Test:

$U=n_1*n_2/2 -u(\alpha/2)*\sqrt{n_1 n_2 (n_1+n_2+1) \over 12}.$

U hängt von n1 und n2 ab, außerdem über den Parametern $u (α)$ bzw. $u(\tfrac{\alpha}{2})$ (oder $λ(1 - α)$ bzw. $\lambda(1-\tfrac{\alpha}{2})$ , wobei $λ q$ das Quantil der Standard-Normalverteilung bezeichnet) vom Signifikanzniveau $α$ . In Abhängigkeit vom gewünschten Signifikanzniveau (zum Beispiel 1%, 5%, oder 10%) muss man $u (α)$ bzw. $u(\tfrac{\alpha}{2})$ aus einer geeigneten Tabelle entnehmen. Bei einer Signifikanz von 5% ist $u(\tfrac{\alpha}{2})$ beispielsweise 1,960.

Die Nullhypothese (dass die beiden Zahlenreihen zur selben Grundgesamtheit gehören) wird abgelehnt, wenn beim einseitigen Test U1 bzw. U2 <U ist und beim zweiseitigen Test min U< U ist.

Es gibt auch Tabellen, aus denen man in Abhängigkeit von $n 1$ und $n 2$ den kritischen $U$ -Wert entnehmen kann. Die folgende Tabelle ist gültig für $\alpha=5\%$ (zweiseitig) und $\tfrac{\alpha}{2}=2,5\%$ (einseitig).

[Bearbeiten] Kritische U-Werte für den Mann-Whitney-Test

zweiseitig $α = 0,05$

einseitig $\tfrac{\alpha}{2} = 0,025$

m	n
m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
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[Bearbeiten] Literatur

Sidney Siegel: Nichtparametrische statistische Methoden. Fachbuchhandlung für Psychologie, Eschborn bei Frankfurt am Main, 2. Ausgabe, 1985)
Wilcoxon, Frank (1945): Individual Comparisons by Ranking Methods. Biometrics Bulletin 1: 80–83.
Mann, Henry/Whitney, Donald (1947): On a test of whether one of two varables is stochastically larger than the other. Annals of Mathematical Statistics 18: 50-60.

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org../../../m/a/n/Mann-Whitney-U-Test_5b9a.html“

Kategorie: Statistik

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