Millersche Indizes

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Dieses Bild zeigt millersche Indizes in einem dreidimensionalen Würfel.

Millersche Indizes dienen der eindeutigen Bezeichnung von Richtungen und Ebenen in Gitterstrukturen. Sie werden vor allem in der Kristallographie verwendet, um die Kristallflächen eindeutig zu beschreiben. Die Schreibweise wurde im Jahr 1839 von William Hallowes Miller (1801–1880) vorgeschlagen.

In der Bragg-Gleichung der Röntgenbeugung werden die millerschen Indizes zur Beschreibung von Gitterebenen (Netzebenen) verwendet. Weil hier aber auch höhere Indizes – beispielsweise (222) – eingesetzt werden, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben, ist hier der Begriff Bragg-Indizes vorzuziehen.

[Bearbeiten] Ermittlung der millerschen Indizes

Abhängig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt dabei innerhalb des Kristalls. Die Kristallflächen schneiden die Koordinatenachsen an bestimmten Punkten (Achsenabschnitte). Die millerschen Indizes sind das Verhältnis der reziproken Achsenabschnitte. Dabei sind millersche Indizes immer ganzzahlige Werte. Man erhält sie durch Multiplikation der reziproken Achsenabschnitte mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. Wenn ein Miller-Index 0 ist, bedeutet das, dass die Fläche parallel zur entsprechenden Achse ist und somit keinen Schnittpunkt mit der Achse hat.

Die Raumlage einer beliebigen Netzebene ist eindeutig durch ihre Koordinaten bestimmt. Die dafür verwendeten millerschen Indizes (hkl) werden folgendermaßen bestimmt:

Man bestimmt die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen x, y, z. Daraus ergeben sich die Strecken vom Koordinatenursprung bis zu den Schnittpunkten. Diese Strecken lassen sich folgendermaßen in Einheiten der Gitterkonstanten (a, b, c) ausdrücken:
- x-Achse: m·a
- y-Achse: n·b
- z-Achse: p·c
Anschließend bildet man die Kehrwerte $\tfrac{1}{m},\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{p}$ und bestimmt drei ganze teilerfremde Zahlen h, k und l:

$\tfrac{1}{m}:\tfrac{1}{n}:\tfrac{1}{p} = h:k:l$
Das Ergebnis, die millerschen Indizes, wird in runde Klammern gesetzt $(h k l)$ .

Mathematisch gesehen sind die millerschen Indizes Vielfache der Komponenten des senkrecht zur zugehörigen Fläche stehenden Vektors.

[Bearbeiten] Indizierung im Kristallgitter

Einzelebene und Netzebenen-Schar

Millersche Indizes werden als Zahlentriplett $(h k l)$ geschrieben. Im hexagonalen Kristallsystem wird häufig die Schreibweise $(h k i l)$ bevorzugt, wobei $i = - (h + k)$ . Negative Indizes werden mit einem über die Zahl geschriebenen Balken gekennzeichnet, also beispielsweise $(\bar 1 0 \bar 2)$ .

Netzebenen-Schar

Wenn man eine Kristallfläche parallel vom Ursprung des Koordinatensystems verschiebt, verändern sich die millerschen Indizes nicht. Sie sind also unabhängig von der Größe eines Kristalls. Die Schar der gleichwertigen Ebenen wird mit geschweiften Klammern bezeichnet: ${h k l}$ . Zum Beispiel bezeichnet ${100}$ alle Seitenflächen der kubischen Elementarzelle. In diese Netzebenen-Schar befinden sich u. a. die Einzelebenen $(100)$ und $(200)$ .

Richtung in einem Kristall

Zusätzlich zur Beschreibung von Ebenen können in Anlehnung an die millerschen Indizes auch Richtungen in einem Gitter bezeichnet werden. Die Unterscheidung geschieht hier durch unterschiedliche Klammerung. Eine Richtung in einem Kristall wird durch die kleinesten ganzahligen Vielfachen des entsprechenden Vektors $\vec r = u \vec a + v \vec b + w \vec c$ in eckigen Klammern $[u v w]$ gekennzeichnet.

Punkte in der Elementarzelle

Für die Angabe von Orten von Punkten $[[x, y, z]]$ in der Elementarzelle werden Indizes in eckigen Doppelklammern genutzt. Die Indizes werden in den Einheiten der Gitterkonstanten ausgedrückt. Der gewählte Nullpunkt des Koordinatensystems wird mit $[[000]]$ bezeichnet. Die Koordinaten der restlichen Eckpunkte lauten dementsprechend $[[100]]$ , $[[110]]$ usw.. Für die Koordinaten des Mittelpunktes einer Elementarzelle ergibt sich der Index $\left[ \left[ \tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\right]\right]$ .

[Bearbeiten] Siehe auch

Gleitebene

[Bearbeiten] Literatur

Schatt, Werner ; Worch, H.: Werkstoffwissenschaft. 8. Aufl. Stuttgart : Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, 1996 – ISBN 3-342-00675-7
Kittel, Charles: Introduction to solid state physics. 7. Aufl. New York, NY : Wiley, 1996 – ISBN 0-471-11181-3