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Elektrotechnik

Physik • Elektrotechnik • Mathematik • Digitaltechnik • Notizen

Inhaltsverzeichnis

1 Dynamik

[Bearbeiten] Dynamik

Translation	Rotation
Ort $\mathbf{r}$	Winkel $\mathbf{\varphi}$
Geschwindigkeit $\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$	Winkelgeschwindigkeit $\mathbf{\omega} = \dot{\mathbf{\varphi}}$
Beschleunigung $\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}$	Winkelbeschleunigung $\mathbf{\alpha} = \dot{\mathbf{\omega}} = \ddot{\mathbf{\varphi}}$

Masse $\mathbf{m}$	Trägheitsmoment (Drehmasse) $I = J = Θ$ $I = \int{ \left\| \mathbf{r} \right\|^2 \mathrm{d}m}$
Impuls $\mathbf{p} = m\, \mathbf{v}$	Drehimpuls $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$
Kraft $\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=m\,\frac{\mathrm{d}^2 \,r}{\mathrm{d}t^2}$	Drehmoment $\mathbf{M} = \mathbf{T} = \dot{\mathbf{L}}$ $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = I\,\mathbf{\alpha}$

[Bearbeiten] Erhaltungssätze

Impulserhaltungssatz: Ohne Einwirkung von Kräften bleibt der Impuls eines Systems (in einem Inertialsystem) erhalten.
Drehimpulserhaltungssatz: Ohne Einwirkung von Drehmomenten bleibt der Drehimpuls eines Systems (in einem Inertialsystem) erhalten.
Energieerhaltungssatz: Ohne Einwirkung von Kräften/Momenten bleibt die Energie eines Systems erhalten; die an/von einem System verrichtete Arbeit erhöht/verringert seine Energie; Umwandlung von Energieformen innerhalb eines Systems sind möglich.

[Bearbeiten] Kausalität und Determinismus

Klassisches System: $\Delta \mathbf{r} \cdot \Delta \mathbf{p} = \Delta \mathbf{r} \cdot \mathbf{m}\,\Delta \mathbf{v} = 0$; kleine Änderrung der Anfangsbedingung -> kleine Änderrung der Entwicklung
Chaotisches System: kleine Änderrung der Anfangsbedingung -> große Änderrung der Entwicklung
(Mikro)Quantensystem: $\Delta \mathbf{r} \cdot \Delta \mathbf{p} = \Delta \mathbf{r} \cdot \mathbf{m}\,\Delta \mathbf{v} = \hbar = \frac{h}{2\,\pi} = 10^{-34} \mathrm{Js}$; h = Plancksches Wirkungsquantum; gleiche Anfangsbedingung -> statistischer Versuchsausgang; Kausalität nur für viele Mikrosysteme sichtbar

[Bearbeiten] Koordinaten Transformation

Galilei-Transformation

$Σ'$ Inertialsystem	$Σ'$ kein Intertialsystem
$\mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{r}'_{\Sigma',0} + \mathbf{v}_{\Sigma'} \, t$ Beschleunigungen sind invariant bei Galileo-Transformation $\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{a} = \mathbf{a}' + 0 + 0$ folglich sind Newtonsche Axiome invariant bei Galileo-Transformation $\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{p}}{\mathrm{t}} = m\,\mathbf{a} = m\,\mathbf{a}' = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{p}'}{\mathrm{t}} = \mathbf{F}'$ Galileisches Prinzip der universiellen Zeit $t = t'$ dh. nur bei $v \ll c_0$ gültig.	$\mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{r}_{\Sigma',0} + \int_{t_0}^t {\mathbf{v}} \,\mathrm{d}t$ In beschleunigten Koordinatensystemen treten Trägheitskräfte (Scheinkräfte) auf $\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{a} = \mathbf{a}' + 0 + \mathbf{a}_{\Sigma'}$ $\mathbf{a}' = \mathbf{a} - \mathbf{a}_{\Sigma'}$ $m\,\mathbf{a}' = m\,\mathbf{a} - m\,\mathbf{a}_{\Sigma'}$ $\mathbf{F}' = \mathbf{F} - \mathbf{F}_{T}$ Trägheitskraft: $\mathbf{F}_{T} = -m\,\mathbf{a}_{\Sigma'}$ Coriolisbewegung: $\Delta\mathbf{r} = 2\,{\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}}$ Corioliskraft: $\mathbf{F}_{C} = 2\,m\,\left( \mathbf{v} \times \mathbf{\omega} \right)$

Σ'

Inertialsystem

Σ'

kein Intertialsystem

$\mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{r}'_{\Sigma',0} + \mathbf{v}_{\Sigma'} \, t$

Beschleunigungen sind invariant bei Galileo-Transformation

$\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{a} = \mathbf{a}' + 0 + 0$

folglich sind Newtonsche Axiome invariant bei Galileo-Transformation

$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{p}}{\mathrm{t}} = m\,\mathbf{a} = m\,\mathbf{a}' = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{p}'}{\mathrm{t}} = \mathbf{F}'$

Galileisches Prinzip der universiellen Zeit

t = t'

dh. nur bei $v \ll c_0$ gültig.

$\mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{r}_{\Sigma',0} + \int_{t_0}^t {\mathbf{v}} \,\mathrm{d}t$

In beschleunigten Koordinatensystemen treten Trägheitskräfte (Scheinkräfte) auf

$\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{a} = \mathbf{a}' + 0 + \mathbf{a}_{\Sigma'}$

$\mathbf{a}' = \mathbf{a} - \mathbf{a}_{\Sigma'}$

$m\,\mathbf{a}' = m\,\mathbf{a} - m\,\mathbf{a}_{\Sigma'}$

$\mathbf{F}' = \mathbf{F} - \mathbf{F}_{T}$

Trägheitskraft:

$\mathbf{F}_{T} = -m\,\mathbf{a}_{\Sigma'}$

Coriolisbewegung:

$\Delta\mathbf{r} = 2\,{\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}}$

Corioliskraft:

$\mathbf{F}_{C} = 2\,m\,\left( \mathbf{v} \times \mathbf{\omega} \right)$

Lorentz-Transformation

entspricht Galilei-Transformation bei $v \ll c_0$ .

[Bearbeiten] wichtige Größen

Arbeit: Formelzeichen: W (engl. work); Einheit: Joule; Wattsekunde; $\mathrm{d}W = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}$ $W = \int{\mathrm{d}W}$

Wegintegral

$W = \int_{\mathbf{r}_0}^\mathbf{r}{\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}} = \int_{t_0}^t{\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}\mathrm{d}\mathbf{t}}$
Leistung: Formelzeichen: P (engl. power); Einheit: Watt; $\mathbf{P} = \dot{\mathbf{W}} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$
Drehimpuls: Formelzeichen: L (engl. angular momentum); $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \int{\left[ \mathbf{r} \times m \left( \mathbf{\omega} \times \mathbf{r} \right) \right]} = \left( \int{ \left| \mathbf{r} \right|^2 \mathrm{d}m} \right) \, \mathbf{\omega} = I \, \mathbf{\omega}$
Drehmoment; Moment: Formelzeichen: T; M (engl. torque; momentum)

Allgemein		starrer Körper
$\mathbf{T}$	${} = \dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$	$\mathbf{T}$	${} = \dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}\,\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$
	${} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left( \mathbf{r}\times\mathbf{p} \right)$		${} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left( I\,\mathrm{\omega} \right)$
	${} = \dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{p} + \mathbf{r}\times\dot{\mathbf{p}}$		${} = \dot{I}\,\mathbf{\omega} + I\,\dot{\mathbf{\omega}}$
	${} = \mathbf{v}\times\mathbf{p} + \mathbf{r}\times\mathbf{F}$		${} = 0 + I\,\mathbf{\alpha}$
	${} = \mathbf{v}\times m\,\mathbf{v} + \mathbf{r}\times\mathbf{F}$		${} = I\,\mathbf{\alpha}$
	${} = m\,\left( \mathbf{v}\times\mathbf{v} \right) + \mathbf{r}\times\mathbf{F}$
	${} = 0 + \mathbf{r}\times\mathbf{F}$
	${} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}$

Änderrung des Drehimpulses erfolgt in Richtung des Drehmoments

$\mathrm{d}\mathbf{L} = \mathbf{T}\,\mathrm{d}t$
Präzession: $\mathbf{\omega}_P = \frac{\mathbf{F}\times\mathbf{r}}{\mathbf{\omega}_S}$; φ…Präzession (Drehung des Kreisels um die Aufhängung → ω_P); s…Spin (Rotationsachse des Kreisels → ω_S); ϑ…Nutation (Nicken der Rotationsachse → ω_N); r…Position des Kreisels; F…Kraft auf den Kreisel

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