Oktaeder

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Das Oktaeder (nach griech. oktáedron = Achtflächner) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner) mit

acht (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
zwölf (gleich langen) Kanten und
sechs Ecken, in denen jeweils vier Flächen zusammentreffen

Das Oktaeder ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit quadratischer Grundfläche) als auch ein gleichseitiges Antiprisma (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die
jeweils die Grundfläche einer Bipyramide bilden

[Bearbeiten] Symmetrie

Ein Oktaeder

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

drei vierzählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Ecken)
vier dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen)
sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten)
neun Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)

und ist

punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders - die Oktaeder- oder Würfelgruppe - 48 Elemente.

[Bearbeiten] Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (und umgekehrt).

Setzt man auf die Seiten des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht das Sterntetraeder.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

das Rhombendodekaeder (mit 8+6 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Flächen)

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

[Bearbeiten] Formeln

Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V \, = \, \frac{\sqrt{2}}{3} \, a^3 \approx 0{,}47 \, a^3$
Oberflächeninhalt	$A_O \, = \, 2 \sqrt{3} \, a^2 \approx 3{,}46 \, a^2$
Umkugelradius	$r_u \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, a \approx 0{,}71 \, a$
Inkugelradius	$r_i \, = \, \frac{\sqrt{6}}{6} \, a \approx 0{,}41 \, a$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	$\frac{V}{V_{UK}} = \frac{1}{\pi} \, \approx 0{,}32$

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das n-dimensionale Kreuzpolytop hat $2 n$ Ecken und wird von $2 n$ (n-1)-dimensionalen Simplices (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. (Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat.)

Ein Modell für das n-dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der l₁-Norm

$\left\| x \right \|_1 = \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert$ für $x = ( x_1 ,\dots, x_n) \in \mathbb R^n$

im Vektorraum Rⁿ. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

die Menge

$\left\{ x \in \mathbb R^n \mid \left\|x\right\|_1 \le 1 \right\} = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert \le 1 \right\}$ .

die konvexe Hülle der 2ⁿ Eckpunkte $\pm e_i$ , wobei $e i$ die Einheitsvektoren sind.
der Durchschnitt der 2ⁿ Halbräume, die durch die Hyperebenen der Form