Opening

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Opening (im deutschen auch Öffnen bzw. Öffnung) ist eine morphologische Basis-Operation in der digitalen Bildverarbeitung.

[Bearbeiten] Formale Definition

Gegeben sei ein vollständiger Verband $L$ . Ein Operator $γ$ auf $L$ ist ein (algebraisches) Öffnen, wenn für alle $x,y \in L$ gilt:

$\gamma (x) \leq x$ ; d.h. der Operator ist anti-extensiv (das Ergebnis ist "kleiner" als das Original)
$x \leq y \Rightarrow \gamma (x) \leq \gamma (y)$ ; d.h. die Ordnungsstruktur des Verbandes bleibt durch die Operation erhalten.
$γ(γ(x)) = γ(x)$ ; d.h. der Operator ist idempotent (ein mehrmaliges Anwenden führt zu keiner weiteren Veränderung des Ergebnisses).

[Bearbeiten] Öffnen in der Binärbildmorphologie

Im Fall der Binärbildmorphologie ist der Verband $L$ gegeben durch den Potenzmengenverband aller Bildpunkte. Ein Binärbild wird also aufgefasst als Punktmenge. Die ersten beiden der oben genannten Eigenschaften lassen sich dann wie folgt formulieren:

Durch ein Öffnen werden keine zusätzlichen Bildpunkte gesetzt, sondern höchstens Punkte entfernt.
Wenn ein Bild $y$ ein Bild $x$ als Teilmenge enthält, so gilt, dass nach einem Öffnen auch das Ergebnis von $y$ auch das Ergebnis von $x$ enthält. Man beachte, dass es sich nicht um echte Teilmengen handeln muss. Daraus folgt u.a., dass zwei unterschiedliche Bilder durch ein Öffnen auf dasselbe Bild abgebildet werden können. Ein Öffnen ist also i.a. nicht umkehrbar (es wird also Information vollständig gelöscht).

Diese Definition ist sehr weit gefasst; in der Praxis haben sich verschiedene Verfahren etabliert, die im folgenden kurz skizziert werden.

[Bearbeiten] Öffnen mittels strukturierendem Element

Ein Spezialfall ist das Öffnen mittels strukturierendem Element. Es ist wie folgt definiert:

$A \circ X = (A \ominus X) \oplus X$

Es handelt sich also um das nacheinander Ausführen einer Erosion und einer Dilatation jeweils mit demselben strukturierenden Element. Durch die Erosion werden alle Strukturen gelöscht, die kleiner sind als das strukturierende Element. Die anschließende Dilatation macht die Erosion für den verbleibenden Rest wieder rückgängig.

Anschaulicher wird die Definition, wenn man sie umschreibt zu

$A \circ X = \bigcup_{\{y | X_y \subseteq A\} } X_y$

wobei $X y$ das um $y$ verschobene Element $X$ darstellt. Das Öffnen eines Bildes $A$ mit einem strukturienden Element $X$ ist also die Vereinigung aller verschobenen Versionen von $X$ , die vollständig in $A$ enthalten sind.

[Bearbeiten] Öffnen mittels Größe

Beim Öffnen mittels Größe werden einfach alle zusammenhaängenden Strukturen gelöscht, die weniger Bildpunkte enthalten als ein bestimmter Schwellwert. Auch dieser Operator genügt der formalen Definition des Öffnens.

[Bearbeiten] Öffnen mittels Rekonstruktionsfilter

Die bedingte Dilatation von $A$ mit $X$ unter der Bedingung $B$ ist definiert zu

$A \oplus_{B} X = (A \oplus X) \cap B$ .

Man dilatiert also $A$ mit $X$ und "schneidet" anschließend alle Punkte ab, die nicht in $B$ liegen. Wählt man als strukturierendes Element $X$ die Einheitsumgebung (also die benachbarten Pixel eines Punktes), so spricht man von der geodätischen Dilatation

$\delta^{(1)}_B(A)$ .

Die n-te geodätische Dilatation ist definiert zu

$\delta^{(n)}_B(A) = \delta^{(1)}_B(\delta^{(n-1)}_B(A))$ .

Man nimmt also nach und nach alle benachbarten Pixel hinzu, die in der unmittelbaren Umgebung des Bildes liegen und prüft, ob sie auch noch in $B$ liegen. Wiederholt man diesen Vorgang beliebig oft, so erreicht man irgendwann den Punkt, an dem sich nichts mehr verändert. Man bezeichnet dies als die Rekonstruktion von $B$ aus dem Marker $A$

$\rho_A(B) = \bigcup_{n \ge 1} \delta^{(n)}_B(A)$ .

Ist der Marker $A$ aus dem Bild $B$ durch ein Öffnen mittels strukturiendem Element $X$ gewonnen worden, so bezeichnet man dies als Öffnen durch Rekonstruktion

$\mu_X(B) = \rho_A(B) ; A = B \circ X$ .

[Bearbeiten] Beispiel

Die folgende Abbildung zeigt die Ergebnisse der unterschiedlichen Verfahren. Das Originalbild ist in (a) dargestellt, das in (b) nach Größe geöffnet wurde. Bei einem Öffnen mit einem Kreis als strukturierendem Element (gelb dargestellt) erhält man das Ergebnis (c). Die linke untere Struktur wird vollständig gelöscht, da der Kreis nicht "hineinpasst". Das Bild (d) schließlich ist die Rekonstruktion von (a) aus (c), also ein Rekonstruktionsöffnen mit dem Kreiselement.

[Bearbeiten] Funktion

Die Operation wird verwendet um:

äußere Ecken zu glätten
dünne Brücken zu öffnen
kleine außenliegende Fransen am Bildrand zu eliminieren
bestimmte Einzelpixel-Störungen zu entfernen

[Bearbeiten] Aufbau

Beim Opening wird zuerst eine Erosion gefolgt von einer Dilatation auf das Basisbild angewandt.

Eine Beispielanwendung (Entfernung einzelner störender Pixel) funktioniert wie folgt: Die Erosion entfernt alleinstehende Bildpunkte, so dass diese bei der anschließenden Dilatation nicht wiederhergestellt werden. Größere, glatt berandete Bereiche mit zusammenhängenden Pixeln hingegen gehen aus der Operation unverändert hervor: Die Erosion verkleinert zuerst den zusammenhängenden Bereich, danach wird der zusammenhängende Bereich durch die Dilatation wieder auf die gleiche Größe wie vor der Erosion. (Bild fehlt)

Ebenso würde eine dünne Verbindung zwischen zwei größeren zusammenhängenden Bereichen durch passende Parameter entfernt, ohne die Bereiche selbst in ihrer Größe zu verändern. Dadurch können z.B. zusammenhängende Zellen in einem Mikroskopbild separiert werden. (Bild fehlt)

Erosion:
Dilation: $\oplus$

$X \circ B = (X$

$B) \oplus B$

X ... Bild
B ... Strukturelement

[Bearbeiten] Beispiel

1. Erosion

Ein Objekt (hier weiß im Bild) wird durch Anwendung der Erosion verkleinert.

Bedingung: Wenn alle Pixel des Strukurelements mit dem Objekt matchen dann schreibe das Centerpixel im Wert des Objektes, alle anderen Pixel werden als Hintergrund (Grauwert 0) geschrieben.

2. Dilatation

Ein Objekt (hier weiß im Bild) wird durch Anwendung der Dilatation vergrößert.

Bedingung: Wenn ein Pixel des Strukurelements mit dem Objekt matcht dann schreibe das Centerpixel im Wert des Objektes, alle anderen Pixel werden als Hintergrund (Grauwert 0) geschrieben.

Siehe auch: Closing

[Bearbeiten] Literatur

Image Processing and Mathematical Morphology. Jean Serra. Academic Press, London, 1982
Image Processing and Mathematical Morphology, Part II: Theoretical Advances. Jean Serra. Academic Press, London, 1988
Methoden der digitalen Bildsignalverarbeitung. Piero Zamperoni, Vieweg Verlag, 1989
Granulometrien in der Grauwertmorphologie. Martin Pfeiffer. Shaker Verlag Aachen, 1999. ISBN 3-8265-4784-5

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Opening

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Formale Definition

[Bearbeiten] Öffnen in der Binärbildmorphologie

[Bearbeiten] Öffnen mittels strukturierendem Element

[Bearbeiten] Öffnen mittels Größe

[Bearbeiten] Öffnen mittels Rekonstruktionsfilter

[Bearbeiten] Beispiel

[Bearbeiten] Funktion

[Bearbeiten] Aufbau

[Bearbeiten] Beispiel

[Bearbeiten] Literatur

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