Orthodrome

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Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Die Orthodrome (orthos <griech.> "gerade", dromos <griech.> "Lauf") ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen. Damit ist die Orthodrome mit der so genannten Luftlinie identisch.

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Dafür ist die Strecke der Loxodrome allerdings auch etwas länger als die der Orthodrome.

Gegenüberstellung von Loxodrome und Orthodrome

Inhaltsverzeichnis

1 Rechenformeln
2 Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin - Tokio
- 2.1 Winkelberechnung
- 2.2 Streckenberechnung
3 Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde
- 3.1 Berechnungsbeispiel Berlin - Tokio
4 Weblinks
5 Quellen

[Bearbeiten] Rechenformeln

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der Sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen	Bedeutung
$\, \phi$	Geographische Breite
$\, \lambda$	Geographische Länge
$\, A (\phi_A, \lambda_A)$	Anfangspunkt
$\, B (\phi_B, \lambda_B)$	Endpunkt
$\, P_N(\phi_N, \lambda_N)$	Nördlichster Punkt der Orthodrome
$\, \alpha$	Kurswinkel bei A
$\, \beta$	Kurswinkel bei B
$\, \zeta$	Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist $\, \lambda$ in Richtung Westen positiv, Richtung Osten negativ; $\, \phi$ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

[Bearbeiten] Nördlichster Punkt

In einer Gnomonischen Projektion werden Orthodromen stets als gerade Strecke abgebildet

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

$\, \phi_N = \arccos \Big( \sin(|\alpha_A|) \cdot \cos(\phi_A) \Big)$

$\lambda_N = \operatorname{sgn}(\alpha_A) \cdot \left| \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_N )}\right) \right|$

[Bearbeiten] Strecke

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben: $\, \zeta =\arccos\Big(\sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big)$

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss $ζ$ noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für $ζ$ im Bogenmaß; falls $ζ$ in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit $2π / 360$ multipliziert werden).

[Bearbeiten] Kurswinkel und rechtweisende Kurse

Kurswinkel

$\alpha = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_B) - \sin(\phi_A) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_A) \cdot \sin(\zeta)}\right)$

$\beta = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_A) - \sin(\phi_B) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_B) \cdot \sin(\zeta)}\right)$

rechtweisende Kurse A => B

$\, rwK_A = \alpha$

$\, rwK_B = 180^\circ - \beta$

rechtweisende Kurse B => A

$\, rwK_B = 360^\circ - \beta$

$\, rwK_A = 180^\circ + \alpha$

[Bearbeiten] Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin - Tokio

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

Berlin
- 52° 31' 0" N = 52,52°
- 013° 24' 0" E = 013,40°
Tokio
- 35° 42' 0" N = 35,70°
- 139° 46' 0" E = 139,77°

[Bearbeiten] Winkelberechnung

$\, \phi_A = 52{,}52^\circ$ $\, \lambda_A = 13{,}40^\circ$

$\, \phi_B = 35{,}70^\circ$ $\, \lambda_B = 139{,}77^\circ$

$\, \zeta =\arccos \Big( \sin(\phi_A) \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A)\cos(\phi_B)\cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big)$

$\, \zeta =\arccos \Big( \sin(52{,}517^\circ) \sin(35{,}70^\circ) + \cos(52{,}52^\circ)\cos(35{,}70^\circ)\cos(139{,}767^\circ - 13,40^\circ) \Big)$

$\, \zeta =\arccos(0{,}79353 \cdot 0{,}58354 + 0{,}60853 \cdot 0{,}81208 \cdot (-0{,}59296) )$

$\, \zeta =\arccos( 0{,}1700)$

$\, \zeta = 80{,}212^\circ$ bzw. $\, \zeta = 1{,}400$ (Bogenmaß)

[Bearbeiten] Streckenberechnung

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit U = 40.000 km bzw. 6.370 km Radius ausgegangen.

$\, L = \frac{\zeta}{360^\circ} \cdot 40\,000\ km$

$\, L = \frac{80{,}212^\circ}{360^\circ} \cdot 40\,000\ km$

$\, L = 8912\ km$

Oder für $\, \zeta$ im Bogenmaß:

$\, L = \zeta \cdot 6370\ km$

$\, L = 8918\ km$

Das ist aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur eine Näherung. Die tatsächliche Entfernung zwischen Berlin und Tokyo kann bei Verwendung des WGS84 Referenzellipsoids zu 8941,2 km berechnet werden.

[Bearbeiten] Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde

Mit folgendem Algorithmus kann der Abstand zwischen 2 Standorten auf der Erde auf 50m genau berechnet werden:

   b1 := Geografische Breite von Standort 1
   l1 := Geografische Länge von Standort 1
   b2 := Geografische Breite von Standort 2
   l2 := Geografische Länge von Standort 2
   
   f := Abplattung der Erde (1/298,257223563)
   a := Äquatorradius der Erde (6378,14 km)
   
   F := (b1+b2)/2
   G := (b1-b2)/2
   l := (l1-l2)/2
   S := sin²(G)cos²(l) + cos²(F)sin²(l)
   C := cos²(G)cos²(l) + sin²(F)sin²(l)
   w := arctan(sqrt(S/C)) in rad
   R := sqrt(S*C)/w
   D := 2*w*a
   H1 := (3R-1)/(2C)
   H2 := (3R+1)/(2S)

Der Abstand s berechnet sich abschließend wie folgt:

   s := D(1 + f*H1*sin²(F)cos²(G) - f*H2*cos²(F)sin²(G))

[Bearbeiten] Berechnungsbeispiel Berlin - Tokio

   b1 := 52,5167
   l1 := 13,4000
   b2 := 35,7000
   l2 := 139,7667

   f := 0,003352811
   a := 6378,14

   F := 44,10833333
   G := 8,408333333
   l := -63,18333333
   S := 0,414982619
   C := 0,585017381
   w := 0,699965691
   R := 0,703918833
   D := 8928,958342
   H1 := 0,950190999
   H2 := 3,749261245