Kugel

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Dieser Artikel behandelt den mathematischen Begriff Kugel. Für weitere Bedeutungen siehe Kugel (Begriffsklärung).

Kugelkoordinaten

Eine Kugel ist in der Mathematik die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper.

[Bearbeiten] Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welcher der beiden Begriffe gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (x₀, y₀, z₀) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), für die

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2\,$

erfüllt ist.

In Vektorschreibweise mit $\vec x$ = (x,y,z) , $\vec m$ = (x₀, y₀, z₀)

$(\vec x - \vec m )^2 = r^2$

oder

$|\vec x - \vec m | = r$

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden:

$x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi$

$y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \qquad (0 \le \theta \le \pi \ \wedge 0 \le \varphi < 2 \pi)$

$z = r \cdot \cos \theta$

Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

[Bearbeiten] Kugelschnitte

Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, so heißt die entstehende Schnittlinie Großkreis, wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, andernfalls Kleinkreis. Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt. Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor.

Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone. Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist.

Eine Kugelschale (Hohlkugel) ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.

[Bearbeiten] Formeln

siehe auch: Formelsammlung Geometrie

Formeln zur Kugel
Umfang (Großkreis)	$U \, = \, 2 \pi r$
Oberfläche	$A_O \, = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} \, = \, 4 \pi r^2$
Volumen	$V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3$
Volumen (Halbkugel)	$V \, = \, \frac{2}{3} \pi r^3$
Projektionsfläche	$A_{PF} \, = \, \pi r^2$
Volumen eines Kugelsegments	$V_{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)$
Flächeninhalt einer Kugelkalotte	$A_{KK} \, = \, 2 r h \pi = 2 r^2 \pi \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)$
Kugelradius	$r\,$
Höhe (Kugelsegment/-kalotte)	$h \,$
Trägheitsmoment (Drehachse durch Mittelpunkt)	$J \, = \, \frac{2}{5} mr^2$
Öffnungswinkel	$\alpha\,$

[Bearbeiten] Begründung der Volumenformel

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius r und Höhe r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius r und Höhe r herausnimmt. Bitte beachten: Das h in der Zeichnung ist nicht identisch mit dem in der Formel zur Volumenberechnung des Kugelsegments!

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand h haben.

Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

$s^2 + h^2 \, = \, r^2$

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

$A_1 \, = \, s^2 \pi = (r^2 - h^2) \pi = r^2 \pi - h^2 \pi$ .

Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius r und Innenradius h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge

$A_2 \, = \, r^2 \pi - h^2 \pi$ .

Für einen beliebigen Abstand h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit ist gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen. Man muss nur vom Zylindervolumen das Kegelvolumen subtrahieren.

$V_{Zylinder} \, = \, r^2 \pi \cdot r = r^3 \pi$ Volumen Zylinder

$V_{Kegel} \, = \, \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot r = \frac{1}{3} r^3 \pi$

$V_{Halbkugel} \, = \, V_{Vergleichskoerper} \, = r^3 \pi - \frac{1}{3} r^3 \pi = \frac{2}{3} r^3\pi$

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

$V_{Kugel} \, = \, 2 \cdot V_{Halbkugel} = \frac{4}{3} r^3 \pi$

[Bearbeiten] Herleitung der Volumenformel mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand x

$s =\sqrt{r^2 - x^2} \,$

Kreisfläche im Abstand x

$A_x = s^2 \pi \,$

Volumen der Kugel $V$

$V = \int_{-r}^r {A_x dx} = \int_{-r}^r {s^2 \pi dx} = \int_{-r}^r {\left( {r^2 - x^2 } \right)} \pi dx = \int_{-r}^r {r^2 } \pi dx - \int_{-r}^r {x^2 } \pi dx$

$V = r^2 \pi \left[ x \right]_{-r}^r - {1 \over 3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{-r}^r$

$V = r^2 \pi \left[ r - (-r)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - {2 \over 3}\pi r^3 = {4 \over 3}\pi r^3$

Auf die gleiche kann man das Volumen eines Kugelsegments $V K S$ der Höhe $h$ berechnen

$V_{KS} = \int_{r-h}^r {A_x dx} = r^2 \pi \left[ x \right]_{r-h}^r - {1 \over 3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{r-h}^r$

$V_{KS} = r^2 \pi \left[ r - (r-h)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^3-(r-h)^3\right] = \pi r^2 h - {1 \over 3}\pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right]$

$V_{KS} = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - {1 \over 3}\pi h^3 = {\pi h^2 \over 3} (3r-h)$

[Bearbeiten] Weitere Herleitungen

Die Kugel lässt sich durch die Gleichung

$K: ~ x^2 + y^2 + z^2 = r^2$

beschreiben, wobei $x, y, z$ die Raumkoordinanten sind und $r$ den Radius darstellt.

Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem leicht auf zwei Arten lösen:

Wir parametrisieren die Kugel durch

$\begin{pmatrix} r ~ \sin\vartheta ~ \cos \varphi \\ r ~ \sin\vartheta ~ \sin\varphi \\ r ~ \cos \vartheta \end{pmatrix} \qquad (0 \leq \vartheta \leq \pi , 0 \leq \varphi \leq 2\pi)$ .

Mit der Funktionaldeterminante

$\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\vartheta,\varphi)} = r^2 \sin\vartheta$

ergibt sich das benötigte Volumenelement $d V$ als

$\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta\;\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\vartheta$ .

Das Volumen der Kugel ergibt sich dann als

$\int_K\mathrm dV = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \sin \vartheta\; \mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\vartheta$

$= \int_0^R r^2 \mathrm dr \int_0^{2\pi} \mathrm d\varphi \int_0^\pi \sin \vartheta\;\mathrm d\vartheta$

$={R^3\over 3}\cdot 2\pi \cdot 2$

$= \frac{4}{3}\pi R^3$ .

Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:

$\int_K\mathrm dV = \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2}\left(\int\limits_{-\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}\mathrm dz\right) \mathrm dy \mathrm dx$

$= \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2}2\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\mathrm dy\mathrm dx$

mit Polarkoordinaten $r 2 = x 2 + y 2$ erhält man:

$= \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^R 2r\sqrt{R^2 - r^2}\mathrm dr\mathrm d\varphi$

$= 2\pi\int\limits_0^R 2r\sqrt{R^2 - r^2}\mathrm dr$

$= 2\pi (-1) \frac{2}{3} \left[\sqrt{(R^2 - r^2)^3}\right]_{r = 0}^R = \frac{4}{3}\pi R^3$ .

Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper

Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einem Kreis entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.

Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt

$V = \pi \cdot \int_ {a}^b (f(x))^2\mathrm{d}x = \pi \cdot \int_ {a}^b y^2\mathrm{d}x$ .

Die Gleichung für den Kreis ist

(x - x M) 2 + (y - y M) 2 = r 2

mit Mittelpunkt

$M=\begin{pmatrix} x_M \\ y_M \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir

$x^2 + y^2 = r^2 \Leftrightarrow y^2 = r^2 - x^2$ .

Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man

$V_\mathrm{Kugel} = \pi \cdot \int_ {-r}^r r^2 - x^2\mathrm{d}x$

$= \pi \cdot \left[r^2x - {1\over3}x^3\right]_{-r}^r$

$= \pi \cdot \left(r^3 - {1\over3}r^3\right) - \pi \cdot \left(r^2\cdot(-r) - {1\over3}(-r)^3\right)$

$= \pi \cdot \left[\left({2\over3}r^3\right)-\left(-{2\over3}r^3\right)\right]$

$= {4\over3}r^3\pi$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht in der Ebene ausbreiten.

Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.

Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine halbe Ellipsenfläche ersetzt, ergibt sich stattdessen ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

Nach dem Banach-Tarski-Paradoxon kann eine Kugel in Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei Kugeln von der Größe des Originals zusammensetzen lassen.

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Der Begriff der Kugel lässt sich auf andere Dimensionen übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl n eine n-dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des n-dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl r (dem Radius) ist. Den Rand der n-dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich r ist, bezeichnet man als (n-1)-Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der n-dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die n-dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems, und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine 3-dimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2-Sphäre. Eine 2-dimensionale Kugel ist ein Kreis, der zugehörige Kreisrand eine 1-Sphäre. Eine 1-dimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0-Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von n-Sphären, wenn sie (n-1)-dimensionale Sphären im n-dimensionalen Raum meinen.

Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r ist

$r^n \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$ .

Hier ist $Γ$ die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den (n-1)-dimensionalen Inhalt der (n-1)-dimensionalen Oberfläche, also der (n-1)-Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

$n \cdot r^{n-1} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$