Projektives Objekt
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Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind projektive Objekte eine Verallgemeinerung des Begriffs der Freiheit in der Algebra.
Ein Objekt P einer Kategorie C heißt projektiv, wenn für jeden Epimorphismus f: X → Y die induzierte Abbildung
- MorC(P,X) → MorC(P,Y)
surjektiv ist.
[Bearbeiten] Beispiele
- Projektive Gruppen sind genau die freien Gruppen.
- Projektive abelsche Gruppen sind genau die freien abelschen Gruppen. Achtung: freie abelsche Gruppen sind i.a. keine freien Gruppen.
- Allgemein sind alle freien Moduln über einem Ring projektiv.
- Gebrochene Ideale in einem Dedekindring sind projektiv, aber im Allgemeinen nicht frei.
- Ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschen Ring ist genau dann projektiv, wenn die zugehörige Modulgarbe lokal frei ist.
- Ein endlich erzeugter Modul ist genau dann projektiv, wenn er direkter Summand eines freien Moduls ist.
[Bearbeiten] Siehe auch
- Der duale Begriff ist der des injektiven Objektes.
- Die Isomorphieklassen endlich erzeugter projektiver Moduln werden durch die 0.-te algebraische K-Theorie beschrieben.
