Freie Gruppe

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In der Mathematik heißt eine Gruppe G freie Gruppe, wenn sie eine Teilmenge S hat, so dass jedes Element von G auf genau eine Weise als Produkt von endlich vielen Elementen von S und deren Inversen geschrieben werden kann. (Dabei werden Variationen, die sich durch Kürzen ineinander überführen lassen, als im wesentlichen gleich angesehen, z.B. st^-1 = su^-1ut^-1). Beachte, dass bei einer freien Gruppe die Reihenfolge der Faktoren wichtig ist, im Gegensatz zu einer freien abelschen Gruppe.

Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Konstruktion 3 Universelle Eigenschaft 4 Eigenschaften

[Bearbeiten] Beispiele

Die Gruppe (Z, +) der ganzen Zahlen ist frei, mit dem Erzeuger S = {1}.

Eine freie abelsche Gruppe über einer Menge S mit mehr als einem Element ist keine freie Gruppe. Zum Beispiel ist das kartesische Produkt Z×Z mit der komponentenweisen Addition eine freie abelsche Gruppe, aber keine freie Gruppe.

Sei σ die Drehung des R³ um die x-Achse (1,0,0) um den Winkel (√2)π, und τ die Drehung des R³ um die y-Achse (0,1,0) um den Winkel (√3)π. Dann ist die von σ und τ erzeugte Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(3) eine freie Gruppe über S = {σ, τ}. Eine solche freie Dreh-Gruppe mit einem zweielementigen Erzeuger S tritt im Beweis des Banach-Tarski-Paradoxon auf.

[Bearbeiten] Konstruktion

Ist S eine beliebige Menge, dann gibt es immer eine freie Gruppe über S. Diese Gruppe ist im folgenden Sinne eindeutig: Sind F₁ und F₂ zwei freie Gruppen über S, dann sind sie isomorph, und es gibt genau einen Isomorphismus f: F₁ -> F₂ mit der Eigenschaft f(s) = s für alle s aus S zwischen ihnen. Diese Eindeutigkeit erlaubt es, von der freien Gruppe über S zu sprechen.

Die freie Gruppe über S wird mit F(S) bezeichnet und wie folgt konstruiert. Für jedes s in S führen wir ein neues Symbol s^-1 ein, das von allen Elementen in S verschieden sei, und nennen es das Inverse von s. Wir bilden dann die Menge aller endlichen Zeichenketten, die aus den Elementen von S und ihren Inversen bestehen. Zwei Zeichenketten seien äquivalent, wenn man sie durch eine endliche Folge von Einfügen oder Entfernen von Teilzeichenketten der Form ss^-1 oder s^-1s ineinander überführen kann. Die Menge der Äquivalenzklassen ist F(S). Dies ist eine Gruppe mit der Verkettung von Zeichenketten als Verknüpfung.

Ist S die leere Menge, dann ist F(S) die einelementige Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht.

[Bearbeiten] Universelle Eigenschaft

Die freie Gruppe über S wird charakterisiert durch folgende universelle Eigenschaft: Ist G eine Gruppe und f: S -> G eine beliebige Funktion, dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus T: F(S) -> G, der f fortsetzt, d.h. es ist T(s) = f(s) für alle s aus S.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Faktorgruppe einer freien Gruppe F(S). Wenn S dabei als endliche Menge gewählt werden kann, nennt man G eine endlich erzeugte Gruppe.

Ist eine Gruppe F sowohl frei über S als auch über T, dann haben S und T dieselbe Mächtigkeit. Diese Mächtigkeit heißt Rang der freien Gruppe F. Für jede Mächtigkeit k gibt es bis auf Isomorphie genau eine freie Gruppe des Rangs k.

Jede Untergruppe einer freien Gruppe ist frei (Nielsen-Schreier-Theorem). Eine freie Gruppe vom Rang k hat zu jeder Mächtigkeit m < k eine Untergruppe des Rangs m. Eine freie Gruppe vom Rang größer als 1 hat Untergruppen von jedem höchstens abzählbaren Rang.

Jeder zusammenhängende Graph kann als wegweise zusammenhängender topologischer Raum aufgefasst werden, indem jede Kante als Weg zwischen den beiden angrenzenden Ecken interpretiert wird. Mit dieser Interpretation ist die Fundamentalgruppe jedes zusammenhängenden Graphen frei. Diese Tatsache kann zum Beweis des Nielsen-Schreier-Theorems benutzt werden.

Hat S mehr als ein Element, dann ist die freie Gruppe F(S) nicht abelsch, und ihr Zentrum besteht nur aus dem neutralen Element.