Punktprobe

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Die Punktprobe ist ein mathematisches Verfahren, durch das entschieden wird, ob ein Punkt in einer gegebenen Punktmenge liegt. Dabei sind verschiedene Punktmengen möglich:

Liegt ein Punkt

auf einem Funktionsgraphen in einem x-y-Koordinatensystem?
auf einer Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem?
auf einer Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem?

[Bearbeiten] Verfahren

Eine Punktprobe wird durchgeführt, indem man die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Punktmenge einsetzt. Erfüllt der Punkt die Gleichung, d.h. entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Punktmenge. Entsteht eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht in der Punktmenge.

Somit ist es möglich, am Ende einer Rechnung zu überprüfen, ob z.B. ein berechneter Schnittpunkt zweier Geraden tatsächlich auf beiden Geraden liegt.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Lineare Funktion

Liegt der Punkt $P (4 | 7)$ auf der Geraden mit der Funktionsgleichung $g: \ y=2x-1$ ?

Für $x$ setzt man die x-Koordinate des Punktes P ein, für $y$ die y-Koordinate des Punktes. $7=2 \cdot 4 -1$ . Dies ist eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt P auf dem Graphen, kurz $P \in g$ .

[Bearbeiten] Geradengleichung in Parameterform

Liegt der Punkt $Q (8 | 3 | 5)$ auf der Geraden h mit der Gleichung $h: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}$ ?

Für den Vektor $\vec x$ setzt man den Ortsvektor des Punktes Q ein und löst zeilenweise nach dem Parameter $λ$ auf. Da sich in der ersten Zeile $λ = 2$ ergibt, gleichzeitig die zweite Zeile aber $λ = - 3$ liefert, gibt es einen Widerspruch. Somit liegt der Punkt Q nicht auf der Geraden h, kurz $Q \notin h$ .

[Bearbeiten] Ebenengleichung in Koordinatenform

Liegt der Punkt $R (2 | 1 | 11)$ auf der Ebene mit der Koordinatengleichung ${E: \ 3 x_1+7 x_2- x_3=2}$ ?

Für $x 1$ , $x 2$ und $x 3$ setzt man die Koordinaten des Punktes R ein. ${\ 3 \cdot 2+7 \cdot 1 - 11=2}$ . Dies ist eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt R auf der Ebene, kurz $R \in E$ .

[Bearbeiten] Weitere Anwendungen

Die Punktprobe kann auch dazu verwendet werden, eine Geradengleichung g zu bestimmen, wenn ein Punkt P der Gerade und deren Steigung $m$ bekannt ist.

Ansatz: $g: \ y=m \cdot x + c$

Der y-Achsenabschnitt $c$ wird nun bestimmt, indem man die „Punktprobe“ für den Punkt P durchführt und nach $c$ auflöst. Dies ist somit eine Alternative zur Punktsteigungsformel.

Von „http://de.wikipedia.org../../../p/u/n/Punktprobe.html“

Kategorie: Analytische Geometrie