Quaternionengruppe
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Gruppentheorie ist die Quaternionengruppe eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 8 mit einigen interessanten Eigenschaften und wird häufig mit dem Symbol Q8 dargestellt.
Die Quaternionengruppe ist die achtelementige Menge 
mit der Verknüpfung 
. Das neutrale Element der Gruppe ist die 1 und die inversen Elemente der einzelnen Gruppenelemente sind
Zusätzlich gilt noch die Beziehung
Damit ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
|
1 | -1 | i | -i | j | -j | k | -k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 | i | -i | j | -j | k | -k |
| -1 | -1 | 1 | -i | i | -j | j | -k | k |
| i | i | -i | -1 | 1 | k | -k | -j | j |
| -i | -i | i | 1 | -1 | -k | k | j | -j |
| j | j | -j | -k | k | -1 | 1 | i | -i |
| -j | -j | j | k | -k | 1 | -1 | -i | i |
| k | k | -k | j | -j | -i | i | -1 | 1 |
| -k | -k | k | -j | j | i | -i | 1 | -1 |
Q8 ist wie schon bemerkt, nichtabelsch; z.B.: ij = -ji.
Q8 hat die ungewöhnliche Eigenschaft hamiltonsch zu sein: sie ist nichtabelsch und jede Untergruppe ist bereits ein Normalteiler. Jede hamiltonsche Gruppe hat eine Untergruppe isomorph zu Q8.
In der abstrakten Algebra wird ein Vektorraum mit Basis {1, i, j, k} definiert und die Struktur einer assoziativen Algebra aufgesetzt anhand obiger Multiplikationstabelle und der Forderung nach Assoziativität. Das Resultat ist ein als Quaternionen bezeichneter Schiefkörper.
Umgekehrt können wir aus den Quaternionen die Quaternionengruppe definieren als die von den Elementen {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} gebildete Untergruppe.
Die Darstellung über erzeugende Elemente von Q8 erfolgt durch erzeugende Elemente {x,y} und den Relationen x4 = 1, x2 = y2 und xyx = y, z.B. x = i, y = j.
[Bearbeiten] Verallgemeinerte Quaternionengruppe
Die Verallgemeinerte Quaternionengruppe erhalten wir wie folgt durch die Darstellung über ihre erzeugenden Elemente: {x,y} und den Relationen x2n = 1, xn = y2, und xyx = y. Die verallgemeinerten Quaternionengruppen gehörten zu der noch größeren Familie der dizyklischen Gruppen.
