Rang einer abelschen Gruppe
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Der Rang einer abelschen Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er ist ein Maß für die Größe einer abelschen Gruppe.
[Bearbeiten] Definition
Für eine abelsche Gruppe G stimmen die folgenden Zahlen überein:
- die Kardinalität einer maximalen
-linear unabhängigen Teilmenge - die Dimension des
-Vektorraums 
(siehe Tensorprodukt).
Diese Zahl heißt Rang von G.
[Bearbeiten] Beispiele und Eigenschaften
- Der Rang von
für eine natürliche Zahl n ist gleich n; allgemeiner ist der Rang der freien abelschen Gruppe 
auf einer Menge I gleich der Kardinalität von I. - Die Gruppe
hat Rang n. - Eine Gruppe ist genau dann eine Torsionsgruppe, wenn ihr Rang 0 ist.
- Der Rang ist additiv auf kurzen exakten Sequenzen: Ist
-
- eine exakte Sequenz abelscher Gruppen, so ist der Rang von G gleich der Summe der Ränge von G' und G''.
