Rieszscher Darstellungssatz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Der Rieszsche Darstellungssatz (nach Frigyes Riesz) charakterisiert in der Mathematik den Dualraum der Banachräume L^p. Er stellt die stetigen linearen Funktionale als Integral dar. Mit diesem Satz kann man schließlich das Lemma von Lax-Milgram beweisen, welches eine zufriedenstellende Existenztheorie für viele partielle Differentialgleichungen sichert.

[Bearbeiten] Aussage

Sei zunächst zu $1\leq p < \infty$ der konjugierte Exponent $q$ mit $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$ gegeben. Im Falle $p = 1$ wähle man $q=\infty$ . Dann gibt es zu jedem stetigen linearen Funktional $A\in (L^p)^*$ ein $g\in L^q$ , so dass

$A(f) = \int g(x) f(x){\rm d} x$ für alle $f\in L^p$

erfüllt ist.

Zum Beweis betrachtet man zunächst den Hilbertraumfall, also p=2, und beweist diese Aussage mit dem Projektionssatz. Den allgemeinen Fall führt man dann geschickt auf den soeben bewiesenen Spezialfall unter Anwendung eines Regularitätssatzes zurück.

[Bearbeiten] Konsequenzen

Neben dem oben erwähnten Lemma von Lax-Milgram folgt aus dem Satz auch noch die Existenz eines isometrischen Isomorphismus von $(L p) *$ nach $L q$ . Zweimalige Anwendung dieser Überlegung liefert schließlich die Reflexivität der Banachräume $L p$ für $1<p<\infty$ .

[Bearbeiten] Literatur

Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2002

Dieses Buch ist eine schöne Einführung in dieses doch recht abstrakte Themengebiet. Besonderer Wert wird hier auf die Regularitätstheorie schwacher Lösungen partieller Differentialgleichungen gelegt.

Friedrich Sauvigny: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik. Band 1, Springer-Verlag, 2004

Ein sehr ungewöhnliches Buch mit einer ausgeprägten Existenztheorie für klassische Lösungen und mit gut ausgearbeiteten Theorie über nicht-lineare Systeme in zwei Variablen. Hier ist auch der Beweis des Rieszschen Satzes im allgemeinen Fall zu finden.

Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2004

Hier wird besonders viel Wert auf die Spektraltheorie auch unbeschränkter Operatoren gelegt. Die exakte Einführung der Distributionstheorie könnte ebenfalls interessant sein.

Von „http://de.wikipedia.org../../../r/i/e/Rieszscher_Darstellungssatz_9d2d.html“

Kategorien: Funktionalanalysis | Satz (Mathematik)