Satz von Binet-Cauchy

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Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix $C$ . Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung $C = A \cdot B$ bekannt sein. Dabei ist $A$ eine $n \times m$ -Matrix und $B$ eine $m \times n$ -Matrix. Die Determinante wird durch Aufsummieren von Produkten aus je einem $n$ -dimensionalen Minor von $A$ und $B$ berechnet.

$\det(A \cdot B) = \sum_{S \subseteq \{1,2,\ldots,m\} \atop |S| = n} \det(A_S) \det(B_S) = \sum_{S \subseteq \{1,2,\ldots,m\} \atop |S| = n} \det(A_S \cdot B_S)$

Die Untermatrizen $A S$ und $B S$ ergeben sich aus den Matrizen $A$ und $B$ wenn nur die Spalten aus $A$ bzw. Zeilen aus $B$ verwendet werden, deren Nummern in $S$ vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist $n > m$ , dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt $\det(A \cdot B) = 0$ .

Der Satz von Binet-Chauchy verallgemeinert die Produktregel für Determinanten. Diese ergibt sich als Spezialfall, wenn sowohl $A$ als auch $B$ $n \times n$ -Matrizen sind. Dann gibt es genau eine Teilmenge $S = \{1,2,\ldots,n\}$ und es gilt $\det(A \cdot B) = \det (A) \cdot \det (B)$ .

[Bearbeiten] Beispiel

In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix $C$ mit Hilfe des Satzes von Binet-Chauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben.

$C = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} = A \cdot B$

Nach dem Satz von Binet-Chauchy gilt:

$\det(C) = \sum_{S \subseteq \{1,2,3\} \atop |S| = 2} \det(A_S) \det(B_S)$

$\qquad = \det(A_{\{1,2\}}) \cdot \det(B_{\{1,2\}}) + \det(A_{\{2,3\}}) \cdot \det(B_{\{2,3\}}) + \det(A_{\{1,3\}}) \cdot \det(B_{\{1,3\}})$

$\qquad = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}$