Formula di Cauchy-Binet
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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è una formula che generalizza il teorema di Binet. La formula è utile a calcolare il determinante del prodotto di due matrici in un caso più generale di quello considerato nel teorema di Binet.
La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.
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[modifica] Enunciato
Siano Ae B due matrici rispettivamente di tipo 
e 
. Il loro prodotto AB è quindi una matrice quadrata 
.
La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di AB come
dove S varia fra i sottoinsiemi con m elementi dell'insieme 
. Per ogni S, la matrice AS è il minore ottenuto da A prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a S. Analogamente, BS è il minore ottenuto da B prendendo solo le righe i cui indici appartengono a S.
[modifica] Proprietà
- Nel caso in cui m = n, la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
- Se m > n, l'insieme S è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
- Se m < n, l'insieme S consta di
elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).
[modifica] Interpretazione nello spazio euclideo
Se A è una matrice reale , il determinante di AtA è uguale al quadrato del volume m-dimensionale del parallelotopo in 
generato dalle colonne di A.
La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione m. Nel caso m = 1, queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.
