Signum (Mathematik)

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Der Begriff Signum (lat.: Zeichen) wird in der Mathematik in zwei Zusammenhängen verwendet, beidemale im Sinne eines "Vorzeichens":

[Bearbeiten] Signumfunktion auf den reellen Zahlen

Graph der Vorzeichenfunktion

Die Vorzeichenfunktion (auch Signum-Funktion) ist eine Funktion aus der Menge der reellen Zahlen in die Menge {-1,0,1} und wird in der Regel wie folgt definiert:

$\sgn(x):= \begin{cases} \;\;\,1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}$

Bei Anwendungen in der Rechentechnik verzichtet man meist auf eine Sonderstellung der 0, um das Vorzeichen einer Zahl in einem einzigen Bit kodieren zu können. Bei dieser einen trivialen Repräsentation der Vorzeichenfunktion als Einerkomplement gibt es gewissermaßen sowohl eine positive als auch eine negative 0. Eine Möglichkeit, dies zu vermeiden, bildet eine Kodierung als Zweierkomplement.

Siehe auch: Sprungfunktion

[Bearbeiten] Signumfunktion auf den komplexen Zahlen

Im Vergleich zum Signum reeller Zahlen wird nur selten die folgende Erweiterung auf komplexe Zahlen betrachtet:

$\sgn(z)= \begin{cases} \frac {z} {|z|} & \; z\ne 0 \\ 0 & \; z=0 \\ \end{cases}$

Signa von 4 Beispielen komplexer Zahlen

Das Ergebnis dieser Funktion liegt auf dem Einheitskreis und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert, insbesondere gilt

$\sgn(r\mathrm e^{\mathrm i\varphi})=\mathrm e^{\mathrm i\varphi},\qquad\mathrm{falls}\ r>0.$

Es gelten außerdem folgende Rechenregeln:

$z=|z|\cdot\sgn z$
, insbesondere
- $\sgn(\lambda\cdot z)=\sgn z$ für positive reelle $λ$
- $\sgn(\lambda\cdot z)=-\sgn z$ für negative reelle $λ$
- $\operatorname{sgn}(-z) = -\operatorname{sgn}(z)$
$\operatorname{sgn}(\bar z) = \overline{\operatorname{sgn}(z)}$
Falls $z\ne0$ ist, gilt auch

$\operatorname{sgn}\left(\frac{1} {z}\right) = \frac {1} {\operatorname{sgn}(z)} = \overline{\operatorname{sgn}(z)}$

Beispiel (im Bild rot):

$\operatorname{sgn}(z_1) = \operatorname{sgn}(2 + 2\mathrm i) = \frac {2 + 2\mathrm i} {\left| 2 + 2\mathrm i \right|} = \frac {2 + 2\mathrm i} {2\sqrt2} = \frac {1 + \mathrm i} {\sqrt{2}} = \frac12\sqrt2+\frac{\mathrm i}2\sqrt2.$

[Bearbeiten] Signum von Permutationen

Jede Permutation lässt sich entweder aus einer geraden oder aus einer ungeraden Zahl von Transpositionen, also Vertauschungen von nur zwei Elementen, zusammensetzen. Im ersten Fall hat die Permutation das Signum 1, im zweiten Fall das Signum -1. Dies ist äquivalent dazu, dass die Anzahl der Fehlstände oder Inversionen gerade bzw. ungerade ist.

Eine rein formale Definition der Signatur einer Permutation ist durch folgende Abbildung gegeben:

$\operatorname{sign}\colon S_n\rightarrow\mathbb Z^\times=\{-1,1\}$

$\sigma\mapsto\prod_{1\le i<j\le n} \frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}$

Dabei ist $S n$ die Menge aller Permutationen einer n-elementigen Menge (die Symmetrische Gruppe) und $σ$ ein Element von $S n$ . Ferner bezeichnet $σ(i)$ dasjenige Element einer n-elementigen Menge M, auf welches das i-te Element dieser Menge M vermöge $σ$ abgebildet wird.

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Kategorien: Analysis | Kombinatorik