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符号函数 - Wikipedia

符号函数

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符號函數（sgn）是一個邏輯函數，用以判斷實數的正負號。為免和讀音相似的正弦函數（sine）混淆，它稱為signum。其定義為：

\sgn x = \left\{ \begin{matrix} -1 & : & x < 0 \\ 0 & : & x = 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix} \right.

用艾佛森括號定義：

sgnx = − [x < 0] + [x > 0]

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：

x = (sgnx) | x |

若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：

\sgn x = {x \over |x|}

符號函數是絕對值函數的導數：

\frac{d|x|}{dx} = \frac{x}{|x|} = \sgn x

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數是狄拉克δ函數的兩倍：

{d \ \sgn x \over dx} = 2 \delta (x)


它和單位步階函數的關係：

sgnx = 2H1 / 2(x) − 1

符號函數可以推廣到複數：對於任意z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}，

\sgn z = \frac z{|z|}
来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E7%AC%A6/%E5%8F%B7/%E5%87%BD/%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E5%87%BD%E6%95%B0.html”

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