Stammfunktion
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Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für beliebige Werte x aus I gelten:
Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch G(x) = F(x) + C definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Die Bezeichnung unbestimmtes Integral bezeichnet manchmal auch die Menge aller dieser Funktionen.
Ist f eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f das bestimmte Integral von f über [a,b] berechnen:
Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z.B.:
- Flächenberechnung für Flächen, die von Funktionsgraphen begrenzt werden
- Volumenberechnung für Rotationskörper
Stammfunktionen einfacher Funktionen lassen sich nach einigen wenigen Regeln bestimmen. Eine Tabelle gibt eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Stammfunktionen.
Für jede integrierbare Funktion ![f: \, [a,b] \to \mathbb{R}](../../../math/1/c/a/1cafc0dbd4efc686521a2440d0f15e84.png)
ist eine Integralfunktion F definiert durch
Diese Funktion ist stetig, und falls auch f stetig ist, ist F nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von f. Ist jedoch f auf [a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann gilt zwar für alle c,d aus [a,b]
aber F ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von f.
[Bearbeiten] Verallgemeinerung
Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch auf komplexe Funktionen übertragen.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Weblinks
- The Integrator – Berechnung von Stammfunktionen online
- Applet zur Integralfunktion - interaktives Arbeitsblatt mit Lösungen zur Visualisierung des Begriffs der Integralfunktion
