Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

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Dies ist eine Formelsammlung zum Thema Ableitungs- und Stammfunktionen. Es werden mathematische Symbole verwendet, welche in der Tabelle mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential- und Integralrechnung benötigt werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen (Integraltafel)
2 Rekursionsformeln für weitere Stammfunktionen
3 Weblinks

[Bearbeiten] Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen (Integraltafel)

Diese Tabelle ist zweispaltig aufgebaut. In der linken Spalte steht die Ableitung der Funktion in der rechten Spalte, umgekehrt ist die Funktion in der rechten Spalte eine Stammfunktion der Funktion in der linken Spalte.

Hinweis: Wenn $F (x)$ eine Stammfunktion ist, dann ist auch für jede Konstante C die Funktion $F (x) + C$ eine Stammfunktion. Zum Beispiel ist auch $F(x)=\frac{1}{2}x^2+5$ eine Stammfunktion von $f (x) = x$ . Die additive Konstante $C$ wird aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht aufgeführt.

[Bearbeiten] Potenzfunktionen

Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$0\;$	$C\;$
$k\;(k\in\R)$	$kx\;$
$x^n\,$	$\frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1}$
$nx^{n-1} \,$	$x^n\;$
$x\;$	$\frac{1}{2}x^2\;$
$2x\;$	$x^2\;$
$x^2\;$	$\frac{1}{3}x^3\;$
$3x^2\;$	$x^3\;$
$qx^{q-1}\;$	$x^q\;$
$x^q\;$	$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{q+1}}{q+1} & \mbox{wenn }q\neq-1 \\ \ln \left\| x \right\| & \mbox{wenn } q=-1 \end{matrix}\right.$

[Bearbeiten] Exponential- und Logarithmusfunktionen

Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$e^x\;$	$e^x\;$
$e^{kx}\;$	$\frac{1}{k}e^{kx}\;$
$a^x\ln a\;(a>0,a\neq 1)$	$a^x\;$
$a^x\;$	$\frac{a^x}{\ln a}\;$
$e^{x \ln \left\| x \right\|}(\ln \left\| x \right\| + 1)\;$	$\left\| x \right\|^x$ entspricht $e^{x \ln \left\| x \right\|}$ $(x\neq 0)$
$\frac{1}{2 \sqrt{x}}\;$	$\sqrt{x}\;$
$\frac{-2}{x^3}\;$	$\frac{1}{x^2}\;$
$\frac{-1}{x^2}\;$	$\frac{1}{x}\;$
$\frac{1}{x}\;$	$\ln \left\| x \right\| \;$
$\ln x\;$	$x\ln x -x\;$
$u'(x) \ln u(x)\;$	$u(x) \ln u(x) - u(x)\;$
$\frac{1}{x}\ln^{n}x \;\;(n\neq-1)\;$	$\frac{1}{n+1}\ln^{n+1}x\;$
$\frac{1}{x}\ln{x^n} \;\; (n\neq0)\;$	$\frac{1}{2n}\ln^2{x^n}\;$
$\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}\;$	$\log_a x\;$
$\frac{1}{x\ln x}\;$	$\ln(\ln x)\;$
$\log_a x\;$	$\frac{1}{\ln a}(x\ln x -x)\;$

[Bearbeiten] Trigonometrische und Hyperbelfunktionen

Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$\sin x\;$	$-\cos x\;$
$\cos x\;$	$\sin x\;$
$\tan x\;$	$-\ln\cos x\;$
$\cot x\;$	$\ln\sin x\;$
$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\;$	$\tan x\;$
$\frac{-1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\;$	$\cot x\;$
$\arcsin x\;$	$x\;\arcsin x +\sqrt {1-x^2}\;$
$\arccos x\;$	$x \arccos\;x -\sqrt {1-x^2}\;$
$\arctan x\;$	$x \arctan x -\frac {1}{2} \ln \left(1+x^2 \right)\;$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;$	$\arcsin x\;$
$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\;$	$\arccos x\;$
$\frac {1} {x^2+1}\;$	$\arctan x\;$
$\frac {x^2} {x^2+1}\;$	$x - \arctan x\;$
$\frac {1} {(x^2+1)^2}\;$	$\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan x\right)\;$
$\sinh x\;$	$\cosh x\;$
$\cosh x\;$	$\sinh x\;$
$\tanh x\;$	$\ln \cosh x\;$
$\coth x\;$	$\ln \sinh x\;$
$\frac{1}{\cosh^2 x} =1-\tanh^2 x\;$	$\tanh x\;$
$\frac{-1}{\sinh^2 x} =1-\coth^2 x\;$	$\coth x\;$
$\operatorname{arsinh}\;x\;$	$x\;\operatorname{arsinh}\;x -\sqrt{x^2+1}\;$
$\operatorname{arcosh}\;x\;$	$x\;\operatorname{arcosh}\;x -\sqrt{x^2-1}\;$
$\operatorname{artanh}\;x\;$	$x\;\operatorname{artanh}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(1-x^2\right)}\;$
$\operatorname{arcoth}\;x\;$	$x\;\operatorname{arcoth}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(x^2-1\right)}\;$
$\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}\;$	$\operatorname{arsinh}\;x\;$
$\frac{1}{\sqrt {x^2-1}}\;,\;x>1$	$\operatorname{arcosh}\;x\;$
$\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left\| x \right\|<1$	$\operatorname{artanh}\;x\;$
$\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left\| x \right\|>1$	$\operatorname{arcoth}\;x\;$
$\sin^{2} k x\;$	$\frac{k x-\sin(k x)\, \cos(k x)}{2 k}$
$\cos^{2} k x\;$	$\frac{k x+\sin(k x)\, \cos(k x)}{2 k}$

[Bearbeiten] Sonstige

Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$e^{-x^2}$	$\frac{\sqrt{\pi}}{2}\;\operatorname{Erf}\;x$
$e^{-a x^2 + b x + c}$	$\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}}\;e^{\frac{b^2}{4 a} + c}\;\operatorname{Erf}\;\left(\sqrt{a}\;x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)$
$\frac {u'(x)} {u(x)}$	$\ln \left\| u(x) \right\| \,$
$u'(x) \cdot u(x)$	$\frac {1} {2} (u(x))^2$

[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Rekursionsformeln für weitere Stammfunktionen

$\int\frac{1}{(x^2+1)^n}\, \mathrm d x = \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\, \mathrm d x,\quad n\geq 2$