Symmetrisches Polynom

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In der Mathematik heißt ein Polynom in mehreren Unbestimmten symmetrisch, wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern.

Betrachtet man beispielsweise die Polynome $p = X + Y - 1$ und $q = X + Y 2$ , so erhält man durch Vertauschen von $X$ und $Y$ die Polynome

$\tilde p=Y+X-1$ bzw. $\tilde q=Y+X^2$ .

Im Fall von $p$ erhält man also dasselbe Polynom, d. h. $p$ ist symmetrisch in $X$ und $Y$ , im Fall von $q$ erhält man ein anderes Polynom, also ist $q$ nicht symmetrisch.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition
2 Beispiele
3 Elementarsymmetrische Polynome
- 3.1 Eigenschaften
- 3.2 Beispiele

[Bearbeiten] Formale Definition

Es seien $n > 1$ eine natürliche Zahl, $A$ ein Ring. Dann heißt ein Polynom $p\in A[X_1,\ldots, X_n]$ symmetrisch in $X_1,\ldots,X_n$ , wenn

$p(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})=p(X_1,\ldots,X_n)$ für alle Permutationen $\sigma\in S_n$

gilt.

Äquivalente Beschreibungen sind:

Für alle $k\ne m$ ist

$p(X_1,\ldots,X_{k-1},X_k,X_{k+1}\ldots,X_{m-1},X_m,X_{m+1},\ldots,X_n)=p(X_1,\ldots,X_{k-1},X_m,X_{k+1},\ldots,X_{m-1},X_k,X_{m+1},\ldots,X_n),$

d. h. man kann zwei beliebige Unbestimmte gegeneinander austauschen.

Es sei

$p=\sum_{e_1\geq0,\ldots,e_n\geq0} a_{e_1,\ldots,e_n}X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}.$

Dann ist

p

genau dann symmetrisch, wenn

$a_{e_1,\ldots,e_n}=a_{e_{\sigma(1)},\ldots,e_{\sigma(n)}}$ für alle $\sigma\in S_n$

gilt. Anschaulich bedeutet das, dass der Koeffizient eines Monoms von

p

nur davon abhängt, welche Exponenten wie oft vorkommen, und nicht, bei welchen Unbestimmten.

Die symmetrische Gruppe $S n$ operiert durch

$(\sigma p)(X_1,\ldots,X_n)=p(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})$

auf dem Polynomring $A[X_1,\ldots,X_n]$ . Ein Polynom ist genau dann symmetrisch, wenn es invariant unter dieser Operation ist, d. h., wenn

σ p = p

für alle $\sigma\in S_n$

gilt. Eine mögliche Schreibweise für den Ring der symmetrischen Polynome ist deshalb

$A[X_1,\ldots,X_n]^{S_n}.$

[Bearbeiten] Beispiele

Das Polynom $X + Y$ ist symmetrisch in $X$ und $Y$ , jedoch nicht symmetrisch in $X, Y, Z$ .

[Bearbeiten] Elementarsymmetrische Polynome

Es seien $T,X_1,\ldots,X_n$ Unbestimmte. Die Koeffizienten von

$(T+X_1)(T+X_2)\cdots(T+X_n)=T^n+\sigma_1 T^{n-1}+\sigma_2 T^{n-2}+\ldots+\sigma_n$

als Polynom in $T$ sind symmetrisch in $X_1,\ldots,X_n$ ; sie heißen elementarsymmetrische Polynome. Sie sind explizit angebbar als

$\sigma_1=X_1+\ldots+X_n$

$\sigma_2=X_1X_2+\ldots+X_1X_n+X_2X_3+\ldots+X_2X_n+\ldots+X_{n-1}X_n$

$\ldots$

$\sigma_k=\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}X_{i_1}\cdots X_{i_k}$

$\ldots$

$\sigma_n=X_1\cdots X_n$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die zentrale Aussage über elementarsymmetrische Polynome ist: Jedes symmetrische Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
In Formeln:

$A[X_1,\ldots,X_n]^{S_n}=A[\sigma_1,\ldots,\sigma_n].$

Es seien $A$ ein Integritätsbereich,

$p(T)=T^n+a_1T^{n-1}+a_2T^{n-2}+\ldots+a_n$

ein Polynom mit Koeffizienten in

A

und $x_1,\ldots,x_n$ die (mit Vielfachheit gezählten) Nullstellen von

p

in einem algebraischen Abschluss des Quotientenkörpers von

A

. Dann gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta:

$a_1=-(x_1+\ldots+x_n)$

$a_2=x_1x_2+x_1x_3+\ldots+x_1x_n+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n$

$\ldots$

$a_k=(-1)^k\cdot\sigma_k(x_1,\ldots,x_n)$

$\ldots$

$a_n=(-1)^nx_1\cdots x_n.$

[Bearbeiten] Beispiele

$X_1^2+\ldots+X_n^2=\sigma_1^2-2\sigma_2$
$X_1^3+\ldots+X_n^3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3$ , allgemein sind die Potenzsummen mit den elementarsymmetrischen Polynomen durch die Newton-Identitäten verbunden.
Das Polynom